АНТИДЕРИВАТ: ФОРМУЛИ И УРАВНЕНИЯ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2026

Един antiderivative F (х) на функция е (х) се нарича примитивна или просто неопределен интеграл на споменатата функция, ако в даден интервал I, се изпълни F'(х) = е (х)

Например да вземем следната функция:

f (x) = 4x ³

Антидериват на тази функция е F (x) = x ⁴, тъй като при разграничаване на F (x) с помощта на правилото за извличане за мощност:

Получаваме точно f (x) = 4x ³.

Това обаче е само един от многото антидеривати на f (x), тъй като тази друга функция: G (x) = x ⁴ + 2 също е тя, тъй като при диференциране на G (x) по отношение на x се получава същото назад f (x).

Нека да го проверим:

Не забравяйте, че производната на константа е 0. Следователно, към термина х ⁴ можем да добавим всяка константа и нейната производна ще остане 4х ³.

Заключено е, че всяка функция от общата форма F (x) = x ⁴ + C, където C е реална константа, служи като антидериват на f (x).

Илюстративният пример по-горе може да се изрази така:

dF (x) = 4x ³ dx

Антидериватният или неопределен интеграл се изразява със символа ∫, следователно:

F (x) = ∫4x ³ dx = x ⁴ + C

Където функцията f (x) = 4x ³ се нарича интегранд, а C е константа на интегриране.

Примери за антидеривати

Фигура 1. Антидериватът не е нищо повече от неопределен интеграл. Източник: Pixabay

Намирането на антидериват на функция е ясно в някои случаи, когато производните са добре известни. Например, нека функцията f (x) = sin x, антидериват за нея е друга функция F (x), така че когато я диференцираме, получаваме f (x).

Тази функция може да бъде:

F (x) = - cos x

Нека проверим дали е вярно:

F´ (x) = (- cos x) ´ = - (-sen x) = sin x

Затова можем да пишем:

∫sen x dx = -cos x + C

В допълнение към познаването на производни, има някои основни и прости правила за интегриране, за да намерите антидеривативния или неопределен интеграл.

Нека k е истинска константа, тогава:

1.- ∫ kdx = k ∫dx = kx + C

2.- ∫kf (x) dx = k ∫f (x) dx

Ако функция h (x) може да се изрази като събиране или изваждане на две функции, тогава нейният неопределен интеграл е:

3.- ∫h (x) dx = ∫dx = ∫f (x) dx ± ∫g (x) dx

Това е свойството на линейността.

Правилото на правомощията за интегралите може да бъде установено по този начин:

В случая на n = -1 се използва следното правило:

5.- ∫ x ^-1 dx = ln x + C

Лесно е да се покаже, че производната на ln x е точно x ^-1.

Диференциални уравнения

Диференциално уравнение е това, при което неизвестното се намира като производно.

Сега от предишния анализ е лесно да се разбере, че обратната операция към производната е антидеривативен или неопределен интеграл.

Нека f (x) = y´ (x), тоест производната на определена функция. Можем да използваме следната обозначение за обозначаване на това производно:

От това следва веднага:

Неизвестното на диференциалното уравнение е функцията y (x), тази, чието производно е f (x). За да го разрешите, предишният израз е интегриран от двете страни, което е еквивалентно на прилагането на антидеривата:

Левият интеграл се решава чрез правило за интегриране 1, като k = 1, като по този начин се решава желаното неизвестно:

И тъй като C е истинска константа, за да се знае кой от тях е подходящ във всеки случай, изявлението трябва да съдържа достатъчно допълнителна информация, за да се изчисли стойността на C. Това се нарича първоначално условие.

Ще видим примери за приложение на всичко това в следващия раздел.

Антидеривативни упражнения

- Упражнение 1

Прилагайте правилата за интегриране, за да получите следните антидеривати или неопределени интеграли на дадените функции, като максимално опростите резултатите. Удобно е да се провери резултата чрез извеждане.

Фигура 2. Упражнения на антидеривати или определени интеграли. Източник: Pixabay

Решение за

Първо прилагаме правило 3, тъй като интегралът е сумата от два термина:

∫ (x + 7) dx = ∫ xdx + ∫7dx

За първия интеграл важи правилото за захранване:

∫ DX = (х ² /2) + C ₁

Във второто интегрално правило се прилага 1, където k = 7:

∫7dx = 7∫dx = 7x + C ₂

И сега се добавят резултатите. Двете константи са групирани в едно, общо казано С:

∫ (х + 7) DX = (х ² /2) + 7х + C

Решение b

Чрез линейността този интеграл се разлага на три по-прости интеграла, към които ще се приложи правилото за мощност:

∫ (х ^3/2 + х ² + 6) DX = ∫x ^3/2 DX + ∫x ² DX + ∫6 DX =

Обърнете внимание, че за всеки интеграл се появява константа на интеграция, но те се срещат в един разговор С.

Решение c

В този случай е удобно да се приложи разпределителното свойство на умножение, за да се развие интегранда. Тогава правилото за мощност се използва за намиране на всеки интеграл поотделно, както в предишното упражнение.

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫ (3x ² -2x + 3x-2) dx = ∫ (3x ² + x - 2) dx

Внимателният читател ще отбележи, че двата централни термина са сходни, следователно те се намаляват преди интегрирането:

∫ (x + 1) (3x-2) dx = ∫3x ² dx + ∫ x dx + ∫- 2 dx = x ³ + (1/2) x ² - 2x + C

Решение e

Един от начините за решаване на интеграла е да се развие силата, както беше направено в пример d. Въпреки това, тъй като експонентът е по-висок, би било препоръчително да промените променливата, за да не се налага да правите толкова дълго развитие.

Промяната на променливата е следната:

u = x + 7

Извеждане на този израз от двете страни:

du = dx

Интегралът се трансформира в по-опростен с новата променлива, който се решава с правилото за мощност:

∫ (x + 7) ⁵ dx = ∫ u ⁵ du = (1/6) u ⁶ + C

Накрая промяната се връща, за да се върне към първоначалната променлива:

∫ (x + 7) ⁵ dx = (1/6) (x + 7) ⁶ + C

- Упражнение 2

Частицата първоначално е в покой и се движи по оста x. Ускорението му при t> 0 се дава от функцията a (t) = cos t. Известно е, че при t = 0 позицията е x = 3, всички в единици на Международната система. Помолява се да се намери скоростта v (t) и позицията x (t) на частицата.

Решение

Тъй като ускорението е първата производна на скоростта по отношение на времето, имаме следното диференциално уравнение:

a (t) = v´ (t) = cos t

Следва, че:

v (t) = ∫ cos t dt = sin t + C ₁

От друга страна, ние знаем, че скоростта от своя страна е производна на позицията, затова отново се интегрираме:

x (t) = ∫ v (t) dt = ∫ (sin t + C ₁) dt = ∫sen t dt + ∫C ₁ dt = - cos t + C ₁ t + C ₂

Константите на интеграция се определят от информацията, дадена в декларацията. На първо място се казва, че първоначално частицата е в покой, следователно v (0) = 0:

v (0) = sin 0 + C ₁ = 0

С ₁ = 0

Тогава имаме x (0) = 3:

x (0) = - cos 0 + C ₁ 0 + C ₂ = - 1 + C ₂ = 3 → C ₂ = 3 + 1 = 4

Функциите за скорост и положение определено са такива:

v (t) = sin t

x (t) = - cos t + 4

Препратки

1. Engler, A. 2019. Интегрално смятане. Националният университет на Литорала.
2. Larson, R. 2010. Изчисляване на променлива. 9-ти. Edition. McGraw Hill.
3. Математика Безплатни текстове. Antiderivatives. Възстановено от: math.liibretexts.org.
4. Wikipedia. Antiderivative. Възстановено от: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Безпределна интеграция. Възстановено от: es.wikipedia.org.