КАКВО ПРЕДСТАВЛЯВАТ КОПЛАНАРНИТЕ ВЕКТОРИ? (С РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ) - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

На векторите копланарни или копланарна са тези, които се съдържат в една и съща равнина. Когато има само два вектора, те винаги са копланарни, тъй като има безкрайни равнини, винаги е възможно да се избере един, който ги съдържа.

Ако имате три или повече вектора, може да се окаже, че някои от тях не са в същата равнина като другите, следователно не биха могли да се считат за копланарни. Следващата фигура показва набор от копланарни вектори, обозначени с удебелени A, B, C и D:

Фигура 1. Четири копланарни вектора. Източник: самостоятелно направен.

Векторите са свързани с поведението и свойствата на физичните величини, свързани с науката и техниката; например скорост, ускорение и сила.

Силата произвежда различни ефекти върху даден обект, когато начинът на неговото прилагане се променя, например чрез промяна на интензивността, посоката и посоката. Дори и да промените само един от тези параметри, резултатите са значително различни.

В много приложения, както в статиката, така и в динамиката, силите, действащи върху тяло, са на една и съща равнина, поради което се считат за копланарни.

Условия векторите да са копланарни

За да бъдат три вектора копланарни, те трябва да лежат на една и съща равнина и това се случва, ако отговарят на някое от следните условия:

-Векторите са успоредни, следователно техните компоненти са пропорционални и линейно зависими.

-Смесеният ви продукт е нищожен.

-Ако имате три вектора и всеки от тях може да бъде записан като линейна комбинация от другите два, тези вектори са копланарни. Например, вектор, който се получава от сумата от други два, трите са в една и съща равнина.

Алтернативно, условието за копланарност може да бъде зададено, както следва:

Смесен продукт между три вектора

Смесеният продукт между векторите се дефинира с три вектора u, v и w, което води до скала, която е резултат от извършване на следната операция:

u · (v x w) = u · (v x w)

Първо се извършва кръстосаният продукт, който е в скоби: v x w , чийто резултат е нормален вектор (перпендикуляр) на равнината, в която лежат и v и w .

Ако u е в същата равнина като v и w , естествено скаларният продукт (точков продукт) между u и споменатия нормален вектор трябва да е 0. По този начин се проверява дали трите вектора са копланарни (лежат на една и съща равнина).

Когато смесеният продукт не е нула, резултатът от него е равен на обема на паралелепипеда, който има векторите u , v и w като съседни страни.

Приложения

Копланарни, едновременни и неколинеарни сили

Съпътстващите сили се прилагат към една и съща точка. Ако те също са копланарни, те могат да бъдат заменени с единична, която се нарича получената сила и има същия ефект като първоначалните сили.

Ако едно тяло е в равновесие благодарение на три копланарни сили, едновременни и неколинеарни (не успоредни), наречени A , B и C, теоремата на Лами показва, че връзката между тези сили (величини) е следната:

A / sin α = B / sin β = C / sin γ

С α, β и γ като противоположните ъгли на приложените сили, както е показано на следната фигура:

Фигура 2. Три копланарни сили A, B и C действат върху обект. Източник: Kiwakwok в английската Wikipedia

Решени упражнения

-Упражнение 1

Намерете стойността на k, така че следните вектори да са копланарни:

u = <-3, k, 2>

v = <4, 1, 0>

w = <-1, 2, -1>

Решение

Тъй като имаме компонентите на векторите, се използва критерият за смесения продукт, следователно:

u (v x w) = 0

Решете първо v x w. Векторите ще бъдат изразени като единични вектори i, j и k, които разграничават трите перпендикулярни направления в пространството (ширина, височина и дълбочина):

v = 4 i + j + 0 k

w = -1 i + 2 j -1 k

v x w = -4 (ixi) + 8 (ixj) - 4 (ixk) - (jxi) + 2 (jxj) - 2 (jxk) = 8 k + 4 j + k -2 i = -2 i + 4 j + 9 k

Сега ние считаме скаларния продукт между u и вектора, който е резултат от предишната операция, като настройваме операцията равна на 0:

u (v x w) = (-3 i + k j + 2 k) · (-2 i + 4 j + 9 k) = 6 + 4k +18 = 0

24 + 4k = 0

Търсената стойност е: k = - 6

Така че векторът u е:

u = <-3, -6, 2>

-Упражнение 2

Фигурата показва обект, чието тегло е W = 600 N, висящо в равновесие благодарение на кабелите, поставени под ъглите, показани на фигура 3. Възможно ли е да приложим теоремата на Лами в тази ситуация? Във всеки случай, се намери величините на T ₁, T _2, и Т ₃, които правят възможно равновесие.

Фигура 3. Тегло виси в равновесие под действието на показаните три напрежения. Източник: самостоятелно направен.

Решение

Теоремата на Лами е приложима в тази ситуация, ако се вземе предвид възелът, върху който са приложени трите напрежения, тъй като те представляват система от копланарни сили. Първо се прави диаграмата на свободното тяло за теглото на окачване, за да се определи величината на T _3:

Фигура 4. Диаграма на свободно тяло за окачване на тегло. Източник: самостоятелно направен.

От състоянието на равновесие следва, че:

Ъглите между силите са маркирани в червено на следната фигура, може лесно да се провери дали тяхната сума е 360º. Сега е възможно да се приложи теоремата на Лами, тъй като една от силите и трите ъгъла между тях са известни:

Фигура 5. - В червено ъглите за прилагане на теоремата на Лами. Източник: самостоятелно направен.

T ₁ / sin 127º = W / sin 106º

Следователно: T ₁ = грях 127º (W / грях 106º) = 498.5 N

Отново теоремата на Лами се прилага за разрешаване на T ₂:

T ₂ / sin 127 = T ₁ / sin 127º

T ₂ = T ₁ = 498.5 N

Препратки

1. Figueroa, D. Серия: Физика за наука и инженерство. Том 1. Кинематика. 31-68.
2. Физическа. Модул 8: Вектори. Възстановено от: frtl.utn.edu.ar
3. Hibbeler, R. 2006. Механика за инженери. статичен 6-то издание. Континентална издателска компания. 28-66.
4. McLean, W. Schaum Series. Механика за инженери: статика и динамика. 3-то издание. McGraw Hill. 1-15.
5. Wikipedia. Vector. Възстановено от: es.wikipedia.org.