ВЕРОЯТНОСТНИ АКСИОМИ: ВИДОВЕ, ОБЯСНЕНИЕ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - ДУДА - 2025

На аксиоми на вероятност са математически твърдения, отнасящи се до теорията на вероятностите, които не го правят заслуги доказателство. Аксиомите са установени през 1933 г. от руския математик Андрей Колмогоров (1903-1987) в неговите основи на теорията на вероятностите и поставят основите на математическото изследване на вероятността.

При провеждане на определен случаен експеримент ξ, извадковото пространство E е съвкупността от всички възможни резултати от експеримента, наричани също събития. Всяко събитие е обозначено като A и P (A) е вероятността за неговото настъпване. Тогава Колмогоров установява, че:

Фигура 1. Аксиомите на вероятността ни позволяват да изчислим вероятността от удари на хазартни игри като рулетка. Източник: Pixabay

- Аксиома 1 (неотрицателност): вероятността всяко събитие А да е винаги положително или нула, P (A) ≥0. Когато вероятността от събитие е 0, то се нарича невъзможно събитие.

- Аксиома 2 (сигурност): когато някое събитие, което принадлежи на Е, неговата вероятност за настъпване е 1, което можем да изразим като P (E) = 1. Това е известно като определено събитие, тъй като при провеждането на експеримент със сигурност има резултат.

- Аксиома 3 (допълнение): в случай на две или повече несъвместими събития две по две, наречени A ₁, A ₂, A ₃…, вероятността събитието A ₁ плюс A ₂ плюс A _{3 да се} случи и т.н. последователно, това е сумата от вероятностите на всяко случване поотделно.

Това се изразява като: P (A ₁ AU ₂ AU ₃ U…) = P (A ₁) + P (A ₂) + P (A ₃) +…

Фигура 2. Забележителният руски математик Андрей Колмогоров (1903-1987), който положи основите на аксиоматичната вероятност. Източник: Wikimedia Commons.

пример

Аксиомите на вероятността се използват широко в множество приложения. Например:

Палец или халба се хвърля във въздуха и когато падне на пода, има възможност да се приземи с точката нагоре (U) или с точката надолу (D) (няма да обмисляме други възможности). Пробното пространство за този експеримент се състои от тези събития, тогава E = {U, D}.

Фигура 3. В експеримента с хвърляне на такта има две събития с различна вероятност: кацане с точката нагоре или към земята. Източник: Pixabay

Прилагайки аксиомите имаме:

Ако е еднакво вероятно да кацне нагоре или надолу, P (U) = P (D) = ½ (Аксиома 1). Въпреки това, изграждането и дизайна на thumbtack може да направи по-вероятно да падне по един или друг начин. Например може да е, че P (U) = ¾, докато P (D) = ¼ (Аксиома 1).

Обърнете внимание, че и в двата случая сумата от вероятностите дава 1. Въпреки това аксиомите не показват как да присвоите вероятностите, поне не напълно. Но те заявяват, че са числа между 0 и 1 и че, както в случая, сборът от всички е 1.

Начини за възлагане на вероятността

Аксиомите на вероятността не са метод за присвояване на стойността на вероятността. За това има три опции, които са съвместими с аксиомите:

Правилото на Лаплас

Всяко събитие получава една и съща вероятност да се случи, тогава вероятността за настъпване се определя като:

Например, каква е вероятността да изтеглите асо от тесте френски карти? Палубата има 52 карти, по 13 от всеки костюм и има 4 костюма. Всеки костюм има 1 аса, така че общо има 4 аса:

P (като) = 4/52 = 1/13

Правилото на Лаплас е ограничено до ограничени пробни пространства, където всяко събитие е еднакво вероятно.

Относителна честота

Тук експериментът трябва да бъде повторяем, тъй като методът се основава на извършване на голям брой повторения.

Нека направим i повторения на експеримента ξ, от които откриваме, че n е броят пъти, когато се случи определено събитие А, тогава вероятността това събитие да е:

P (A) = lim _{i → ∞} (n / i)

Където n / i е относителната честота на събитие.

По този начин дефинирането на P (A) удовлетворява аксиомите на Колмогоров, но има недостатъка, че трябва да се извършат много тестове, за да е подходяща вероятността.

Субективен метод

Човек или група от хора могат да се съгласят да присвоят вероятност на дадено събитие чрез собствена преценка. Този метод има недостатъка, че различните хора могат да присвоят различни вероятности на едно и също събитие.

Упражнението е разрешено

В експеримента за едновременно хвърляне на 3 честни монети, получете вероятностите на описаните събития:

а) 2 глави и опашка.

б) 1 глава и две опашки

в) 3 кръста.

г) Поне 1 лице.

Решение за

Главите са обозначени с С, а опашките с X. Но има няколко начина да се получат две глави и опашка. Например, първите две монети могат да кацат глави, а третата може да каца опашки. Или първата може да падне глави, втората опашки и третата глава. И най-накрая първите могат да бъдат опашки, а останалите глави.

За да отговорите на въпросите, е необходимо да знаете всички възможности, които са описани в инструмент, наречен дърво диаграма или вероятностно дърво:

Фигура 4. Диаграма на дървото за едновременно хвърляне на три честни монети. Източник: Ф. Сапата.

Вероятността някоя монета да е с глави е ½, същото важи и за опашките, тъй като монетата е честна. Дясната колона изброява всички възможности, които хвърлянето има, тоест пространството за пример.

От примерното пространство се избират комбинациите, които отговарят на исканото събитие, тъй като редът, в който се появяват лицата, не е важен. Има три благоприятни събития: CCX, CXC и XCC. Вероятността всяко събитие да се случи е:

P (CCX) = ½. ½. ½ = 1/8

Същото се случва и за събитията CXC и XCC, като всяко от тях има 1/8 вероятност да се случи. Следователно вероятността да получите точно 2 глави е сумата от вероятностите на всички благоприятни събития:

P (двустранно) = 1/8 + 1/8 + 1/8 = 3/8 = 0,375

Решение b

Намирането на вероятността да възникнат точно два кръста е проблем, аналогичен на предходния, има и три благоприятни събития, взети от извадковото пространство: CXX, XCX и XXC. По този начин:

P (2 кръста) = 3/8 = 0,375

Решение c

Интуитивно знаем, че вероятността да получите 3 опашки (или 3 глави) е по-малка. В този случай търсеното събитие е XXX, в края на дясната колона, чиято вероятност е:

P (XXX) = ½. ½. ½ = 1/8 = 0,125.

Решение г

Иска се да се получи поне 1 лице, това означава, че могат да излязат 3 лица, 2 лица или 1 лице. Единственото несъвместимо събитие с това е това, при което излизат 3 опашки, чиято вероятност е 0,125. Следователно търсената вероятност е:

P (най-малко 1 глава) = 1 - 0,125 = 0,875.

Препратки

1. Canavos, G. 1988. Вероятност и статистика: Приложения и методи. McGraw Hill.
2. Devore, J. 2012. Вероятност и статистика за инженерство и наука. 8-ми. Edition. Cengage.
3. Lipschutz, S. 1991. Schaum Series: Вероятност. McGraw Hill.
4. Obregón, I. 1989. Теория на вероятността. Редакторска лимуза.
5. Walpole, R. 2007. Вероятност и статистика за инженерни науки. Пиърсън.