СВЪРЖЕТЕ ДВУЧЛЕН: КАК ДА ГО РЕШИТЕ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Съединен биномиал на друг двучлен е този, в който те са диференцирани само по знак на операцията. Биномиалът, както подсказва името му, е алгебраична структура, състояща се от два термина.

Някои примери за биноми са: (a + b), (3m - n) и (5x - y). И съответните им конюгирани биноми са: (a - b), (-3m - n) и (5x + y). Както се вижда веднага, разликата е в знака.

Фигура 1. Бином и неговият конюгат бином. Те имат същите термини, но се различават по знак. Източник: Ф. Сапата.

Умноженият по своя конюгат биномиален резултат води до забележителен продукт, който се използва широко в алгебрата и науката. Резултатът от умножението е изваждането на квадратите на термините на първоначалния двучлен.

Например (x - y) е биномиален и неговият конюгат е (x + y). Значи, произведението на двата бинома е разликата на квадратите на термините:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Как решавате конюгат биномиал?

Заявеното правило за конюгирани биноми е следното:

Като пример за приложение ще започнем с демонстриране на предишния резултат, който може да се извърши, като се използва разпределителното свойство на продукта по отношение на алгебраичната сума.

(x - y) (x + y) = xx + xy - yx - yy

Горното умножение е получено, като следвате тези стъпки:

- Първият член на първия двучлен се умножава по първия член на втория

- Тогава първото от първото, за второто от второто

- Тогава вторият от първия до първия от втория

- Накрая втората от първата до втората на втората.

Сега нека направим малка промяна, използвайки комутативното свойство: yx = xy. Изглежда така:

(x - y) (x + y) = xx + xy - xy - yy

Тъй като има две равни термини, но с противоположен знак (подчертан в цвят и подчертан), те се анулират и той се опростява:

(x - y) (x + y) = xx - yy

Накрая се прилага, че умножаването на число само по себе си е еквивалентно на увеличаването му на квадрата, така че xx = x ² и също така yy = y ².

По този начин се доказва това, което беше посочено в предишния раздел, че произведението на една сума и нейната разлика е разликата на квадратите:

(x - y). (x + y) = x ² - y ²

Фигура 2. Сума, кратна на разликата, е разлика на квадратите. Източник: Ф. Сапата.

Примери

- Свързани биноми с различни изрази

Пример 1

Намерете конюгата на (y ² - 3y).

Отговор: (y ² + 3y)

Пример 2

Получете продукта на (y ² - 3y) и неговия конюгат.

Отговор: (y ² - 3y) (y ² + 3y) = (y ²) ² - (3y) ² = y ⁴ - 3 ² y ² = y ⁴ - 9y ²

Пример 3

Разработете продукта (1 + 2a). (2a -1).

Отговор: предишният израз е еквивалентен на (2а + 1). (2а -1), тоест съответства на произведението на биномиал и неговия конюгат.

Известно е, че произведението на биномиал от неговия конюгиран биномиал е равно на разликата на квадратите на термините на двучлен:

(2a + 1) (2a -1) = (2a) ² - 1 ² = 4 a ² - 1

Пример 4

Напишете продукта (x + y + z) (x - y - z) като разлика от квадрати.

Отговор: можем да присвоим горните триноми към конюгираната биномиална форма, като внимателно използваме скоби и квадратни скоби:

(x + y + z) (x - y - z) =

По този начин разликата на квадратите може да се приложи:

(x + y + z) (x - y - z) =. = x ² - (y + z) ²

Пример 5

Изразете продукта (m ² - m -1). (M ² + m -1) като разлика от квадрати.

Отговор: предишният израз е произведение на два триноми. Той първо трябва да бъде пренаписан като произведение на два конюгирани бинома:

(m ² - m -1) (m ² + m -1) = (m ² - 1 - m) (m ² -1 + m) =.

Прилагаме факта, че произведението на биномиал от неговия конюгат е квадратичната разлика на неговите термини, както е обяснено:, = (m ² -1) ² - m ²

Упражнения

Както винаги, започвате с най-простите упражнения и след това увеличавате нивото на сложност.

- Упражнение 1

Напишете (9 - ²) като продукт.

Решение

Първо, пренаписваме израза като разлика от квадрати, за да приложим това, което беше обяснено по-рано. По този начин:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²)

Тогава ние правим фактор, който е еквивалентен на изписването на тази разлика на квадратите като продукт, както се изисква в изявлението:

(9 - a ²) = (3 ² - a ²) = (3 + a) (3 -a)

- Упражнение 2

Фактор 16x ² - 9y ⁴.

Решение

Факторинг на израз означава да го напишете като продукт. В този случай е необходимо предварително да пренапишете израза, за да получите разлика от квадрати.

Това не е трудно да направите това, тъй като гледайки внимателно, всички фактори са перфектни квадратчета. Например 16 е квадратът на 4, 9 е квадратът на 3, а ⁴ е квадратът на y ^2, а x ² е квадратът на x:

16x ² - 9y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² y ⁴ = 4 ² x ² - 3 ² (y ²) ²

След това прилагаме това, което вече знаем по-рано: че разликата на квадратите е произведение на конюгирани биноми:

(4x) ² - (3 и ²) ² = (4x - 3 и ²). (4x + 3 и ²)

- Упражнение 3

Напишете (a - b) като произведение на биноми

Решение

Горната разлика трябва да бъде записана като разлики на квадрати

(√a) ² - (√b) ²

Тогава се прилага, че разликата на квадратите е произведение на конюгираните биноми

(√a - √b) (√a + √b)

- Упражнение 4

Една от употребите на конюгирания бином е рационализирането на алгебраичните изрази. Тази процедура се състои в елиминиране на корените на знаменателя на частичен израз, което в много случаи улеснява операциите. Изисква се да се използва конюгатният биномиал за рационализиране на следния израз:

√ (2-x) /

Решение

Първото нещо е да се идентифицира конюгатният биномиал на знаменателя:.

Сега умножаваме числителя и знаменателя на оригиналния израз по свързания двучлен:

√ (2-x) / {.}

В знаменателя на предишния израз разпознаваме произведението на разлика по сбор, което вече знаем, че съответства на разликата на квадратите на биномите:

√ (2-x). / {(√3) ² - ² }

Опростяването на знаменателя е:

√ (2-x). / = √ (2-x). / (1 - x)

Сега се занимаваме с числителя, за който ще приложим разпределителното свойство на продукта по отношение на сумата:

√ (2-x). / (1 - x) = √ (6-3x) + √ / (1 - x)

В предишния израз разпознаваме произведението на бинома (2-x) по неговия конюгат, който е забележителният продукт, равен на разликата на квадратите. По този начин най-накрая се получава рационализиран и опростен израз:

/ (1 - x)

- Упражнение 5

Разработете следния продукт, използвайки свойствата на конюгатния бином:

Решение

4a ^{(2x + 6y)} - 9a ^{(2x - 6y)} = 4a ^(2x).a ^(6y) - 9a ^(2x).a ^(-6y) =.a ^(2x)

Внимателният читател ще забележи общия фактор, който е подчертан в цвят.

Препратки

1. Балдор, А. 1991. Алгебра. Редакционна културна Venezolana SA
2. González J. Конюгирани биномиални упражнения. Възстановено от: academia.edu.
3. Учителят по математика Алекс. Забележителни продукти. Възстановени от youtube.com.
4. Math2me. Свързани биноми / забележителни продукти. Възстановени от youtube.com.
5. Свързани биномиални продукти. Възстановено от: lms.colbachenlinea.mx.
6. Виртуален. Свързани биноми. Възстановено от: youtube.com.