СЪОТНОШЕНИЕ НА ПОАСОН: КОЕФИЦИЕНТ, ФОРМУЛИ, СТОЙНОСТИ, ПРИМЕРИ - ФИЗИЧЕСКИ - 2025

Съотношението на Поасон е безразмерно количество, характерно за всеки материал. Това е индикация за деформацията на парче материал преди прилагането на определени сили.

Когато парче материал, който е подложен на напрежение или компресия, претърпява деформация, коефициентът между напречната деформация и надлъжната деформация е именно съотношението на Поасон.

Фигура 1. Съотношението на Поасон измерва връзката между надлъжното разтягане и напречното стесняване. (Подготвил Рикардо Перес)

Например, гумен цилиндър, който е подложен на напрежение в краищата си, се простира в надлъжна посока, но се стеснява напречно. Фигура 1 показва лента, чиито първоначални размери са: дължина L и диаметър D.

Пръчката е подложена на напрежение Т в краищата си и като следствие от това напрежение претърпява разтягане, така че новата дължина е L '> L. Но когато е опъната, диаметърът й също се стеснява до новата стойност: D '<D.

Коефициентът на разтягане (положително) и стесняване (отрицателно), умножено по (-1), е положително число между 0 и 0,5. Това число е така нареченото съотношение на Поасон ν (гръцка буква nu).

Формула на съотношението на Поасон

За да се изчисли съотношението на Поасон, е необходимо да се определи надлъжния и напречния деформация.

Надлъжният щам ε _L е участъкът, разделен на първоначалната дължина:

ε _L = (L '- L) / L

По подобен начин напречното напрежение ε _T е радиалното стесняване, разделено на оригиналния диаметър:

ε _T = (D '- D) / D

Следователно съотношението на Поасон се изчислява по следната формула:

ν = - ε _T / ε _L

Връзка с модул на еластичност и модул на твърдост

Отношението на Поасон е свързано с модула Е на еластичността (или модула на Юнг) и модула на твърдост G по следната формула:

Стойност на Poisson за материали

Фигура 2. Неръждаемата стомана има съотношение на Поасон между 0,30 и 0,31. Източник: Pixabay

Примери за изчисление

Пример 1

Лента от определен пластмасов материал има дължина 150 мм и кръгло сечение с диаметър 20 мм. При подлагане на сила на компресия F от 612,25 kg-f се наблюдава скъсяване с 14 mm и едновременно увеличение с 0,85 mm в диаметъра на шината.

Изчисли:

а) Надлъжен щам.

б) напречният щам.

в) съотношението на Поасон на този материал.

г) Модулът на Йънг за еластичност, съответстващ на материала.

д) Модулът на твърдост за тази пластмаса.

Решение за

Спомнете си, че надлъжният щам εL е участъкът, разделен на първоначалната дължина:

εL = (L '- L) / L

εL = (-14 mm) / 150 mm = -0.0933

Обърнете внимание, че надлъжният щам е безразмерен и в този случай е отрицателен, тъй като е имало намаляване на неговия надлъжен размер.

Решение b

По подобен начин напречният щам εT е радиалният конус, разделен на оригиналния диаметър:

εT = (D '- D) / D

εT = (+0,85 mm) / 20 mm = 0,0425

Напречното напрежение е положително, тъй като е имало увеличение на диаметъра на шината.

Решение c

За изчисляване на съотношението на Поасон трябва да помним, че то се определя като отрицателен коефициент между напречната деформация и надлъжната деформация:

ν = - εT / εL

ν = - 0,0425 / (-0,0933) = 0,4554

Трябва да се помни, че съотношението на Поасон е положително безразмерно число и за повечето материали е между 0 и 0,5.

Решение г

Модулът на еластичността на Юнг, обозначен с буквата Е, е константата на пропорционалност в закона на Хук. По E нормалното напрежение σL е свързано с деформацията εL, както следва:

σL = E εL

Нормалното напрежение се определя като коефициентът между нормалната сила (в случая успоредна на оста на щангата) и площта на напречното сечение:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

В това упражнение силата F е 612,25 kg-f, която трябва да бъде преобразувана в нютони, което е единицата за сила на SI:

F = 612,25 kg-f = 612,25 * 9,8 N = 6000 N = 6 kN

От своя страна напречното сечение на площ А е:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (20 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2

И накрая, нормалното напрежение, приложено към щангата, е:

σL = F / A = 6000 N / 3.1416 * 10 ^ -4 m ^ 2 = 19.098.593 Pa = 19.098 MPa

За да изчислим модула на еластичността на Юнг, решаваме за E от закона на Хук σL = E εL:

E = σL / εL = 19,098,593 Па / 0,0933 = 204,7 МРа

Решение e

Модулът на твърдост G е свързан с модула на Йонг E и съотношението на Поасон ν по тази формула:

E / (2 G) = 1 + ν

Оттам можем да решим за G:

G = E / (2 (1 + ν)) = 204.7 MPa / (2 (1 + 0.4554)) = 70.33 MPa

Пример 2

Има меден кабел с диаметър 4 мм и дължина 1 м. Като знаете, че модулът на Янг на мед е 110 000 МРа и че съотношението му на Поасон е 0,34, преценете разтягането и стесняване в диаметър, на което жицата претърпява, когато върху нея се окачи тегло от 100 кг-е.

Решение

Първо, необходимо е да се изчисли нормалното напрежение на опън, което теглото упражнява върху жицата, следвайки тази формула:

σL = F / A = F / (π / 4 * D ^ 2)

Силата F е 980 N, а площта на напречното сечение е:

A = (π / 4 * D ^ 2) = (3.1416 / 4) * (4 * 10 ^ -3 m) ^ 2 = 1.2566 * 10 ^ -5 m ^ 2

Тогава напрежението на опън е:

σL = 980 N / 1,2566 * 10 ^ -5 m ^ 2 = 77,986,000 Па

Изчисляване на напрежение на жицата

Модулът на еластичността на Юнг, обозначен с буквата Е, е константата на пропорционалност в закона на Хук, която свързва нормалното напрежение σL с деформацията εL:

σL = E εL

Оттам може да се реши надлъжното напрежение на медната тел:

εL = σL / E = 77.986 MPa / 110000 MPa = 7.09 * 10 ^ -4

Изчисляване на напречно напрежение

От друга страна, за да се знае напречният щам, се прилага съотношението на Поасон:

ν = - εT / εL

Накрая, напречният щам е:

εT = –ν εL = - 0,34 * 7,09 * 10 ^ -4 = -2,41 * 10 ^ -4

Изчисляване на абсолютно опъване на кабела

И накрая, за да се знае абсолютното разтягане на кабела, трябва да се приложи следното отношение:

ΔL = εL * L = 7.09 * 10 ^ -4 * 1 m = 7.09 * 10 ^ -4 m = 0.709 mm

Тоест, с тази тежест кабелът едва изпъваше 0.709 милиметра.

Изчисляване на намаляване на диаметъра

За да получим абсолютното свиване в диаметър, използваме следната формула:

ΔD = εT * D = -2.41 * 10 ^ -4 * 4 mm = -9.64 * 10 ^ -4 mm = -0.000964 милиметра.

Това стесняване в диаметър е толкова малко, че е трудно да се види с просто око, дори измерването му изисква инструмент с висока точност.

Препратки

1. Бира F.. Механика на материалите. 5-ти. Edition. 2010. Мак Грау Хил. 1-130.
2. Hibbeler R. Механика на материалите. Осмо издание. Prentice Hall. 2011. 3-60.
3. Gere J. Механика на материалите. Осмо издание. Учене в Cengage. 4-220.
4. Giancoli, D. 2006. Физика: Принципи на приложение. 6-а зала „Прентис“. 238-242.
5. Валера Негрете, Дж. 2005. Бележки по обща физика. Пумас. 87-98.