КОНГРУЕНТНОСТ: КОНГРУЕНТНИ ФИГУРИ, КРИТЕРИИ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В еднаквостта в геометрията казва, че ако две равнинни фигури са на една и съща форма и размери, те са еднакви. Например, два сегмента са конгруентни, когато дължините им са равни. По същия начин конгруентните ъгли имат една и съща мярка, въпреки че не са ориентирани по същия начин в равнината.

Терминът "конгруенция" идва от латинското congruentia, чието значение е кореспонденция. Така две конгруентни фигури отговарят точно една на друга.

Фигура 1. Четириъгълници ABCD и A'B'C'D 'на фигурата са съвпадащи: техните страни имат същата мярка, както и техните вътрешни ъгли. Източник: Ф. Сапата.

Например, ако наслагваме двете четириъгълници в изображението, ще открием, че те са конгруентни, тъй като подреждането на страните им е идентично и те измерват едно и също.

Поставяйки четириъгълници ABCD и A'B'C'D 'една върху друга, цифрите ще съвпадат точно. Съвпадащите страни се наричат ​​хомоложни или съответстващи страни и символът ≡ се използва за изразяване на конгруентност. Така че можем да кажем, че ABCD ≡ A'B'C'D '.

Критерии за конгруенция

Следните характеристики са общи за конгруентните многоъгълници:

-Същата форма и размер.

-Идентични измервания на техните ъгли.

-Същата мярка от всяка от страните му.

В случай, че въпросните два полигона са правилни, тоест всички страни и вътрешни ъгли се измерват еднакво, конгруентността се осигурява, когато е изпълнено някое от следните условия:

- Страните са конгруентни

-Апотемите имат една и съща мярка

-Радиусът на всеки многоъгълник измерва същото

Апотема на правилен многоъгълник е разстоянието между центъра и едната от страните, докато радиусът съответства на разстоянието между центъра и върха или ъгъла на фигурата.

Критериите за конгруенция се използват често, тъй като толкова много части и парчета се произвеждат масово и трябва да имат еднаква форма и измервания. По този начин те могат лесно да бъдат заменени, когато е необходимо, например гайки, болтове, листове или павета на земята на улицата.

Фигура 2. паветата на улицата са конгруентни фигури, тъй като формата и размерите им са абсолютно еднакви, въпреки че ориентацията им на пода може да се промени. Източник: Pixabay

Конгруентност, идентичност и сходство

Съществуват геометрични понятия, свързани с конгруенцията, например идентични фигури и подобни фигури, които не предполагат непременно, че фигурите са конгруентни.

Обърнете внимание, че конгруентните фигури са идентични, но четириъгълниците на фигура 1 могат да бъдат ориентирани по различни начини на равнината и все още да остават конгруентни, тъй като различната ориентация не променя размера на техните страни или ъглите им. В такъв случай те вече не биха били идентични.

Другата концепция е тази на сходството на фигурите: две равнинни фигури са сходни, ако имат еднаква форма и вътрешните им ъгли измерват една и съща, въпреки че размерът на фигурите може да е различен. Ако случаят е такъв, цифрите не са конгруентни.

Примери за конгруенция

- Съгласуване на ъгли

Както посочихме в началото, конгруентните ъгли имат една и съща мярка. Има няколко начина за получаване на конгруентни ъгли:

Пример 1

Две линии с обща точка определят два ъгъла, наречени срещуположни ъгли поради върха. Тези ъгли имат една и съща мярка, следователно са конгруентни.

Фигура 3. Противоположни ъгли от върха. Източник: Wikimedia Commons.

Пример 2

Има две успоредни линии плюс линия t, която се пресича и двете. Както в предишния пример, когато тази линия пресича паралелите, тя генерира конгруентни ъгли, по един от всяка линия от дясната страна и още два от лявата страна. Фигурата показва α и α ₁, вдясно от линия t, които са конгруентни.

Фигура 4. Ъглите, показани на фигурата, са конгруентни. Източник: Wikimedia Commons. Lfahlberg / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/3.0).

Пример 3

В паралелограм има четири вътрешни ъгли, които са съвпадащи два до два. Те са тези между противоположни върхове, както е показано на следващата фигура, в която двата ъгъла в зелено са съвпадащи, както и двата ъгъла в червено.

Фигура 5. Вътрешните ъгли на паралелограма са съвпадащи два по две. Източник: Wikimedia Commons.

- Съгласуване на триъгълници

Два триъгълника с еднаква форма и размер са конгруентни. За да се потвърди това, има три критерия, които могат да бъдат разгледани в търсене на конгруентност:

- критерий LLL: трите страни на триъгълниците имат еднакви мерки, следователно L ₁ = L ' ₁; L ₂ = L ' ₂ и L ₃ = L' _3.

Фигура 6. Пример за конгруентни триъгълници, чиито страни измерват едно и също. Източник: Ф. Сапата.

- ALA и AAL критерии: триъгълниците имат два равни вътрешни ъгъла, а страната между тези ъгли има една и съща мярка.

Фигура 7. ALA и AAL критерии за триъгълност. Източник: Wikimedia Commons.

- критерий LAL: две от страните са идентични (съответстващи) и между тях има един и същ ъгъл.

Фигура 8. Критерий LAL за съответствие на триъгълници. Източник: Wikimedia Commons.

Решени упражнения

- Упражнение 1

Два триъгълника са показани на следната фигура: ΔABC и ΔECF. Известно е, че AC = EF, че AB = 6 и че CF = 10. Освен това ъглите ∡BAC и ∡FEC са конгруентни, а ъглите ∡ACB и ∡FCB също са конгруентни.

Фигура 9. Триъгълници за обработения пример 1. Източник: Ф. Сапата.

Тогава дължината на сегмента BE е равна на:

(i) 5

(ii) 3

(iii) 4

(iv) 2

(v) 6

Решение

Тъй като двата триъгълника имат страна с равна дължина AC = EF между равни ъгли ∡BAC = ∡CEF и ∡BCA = ∡CFE, може да се каже, че двата триъгълника са съвпадащи по критерия ALA.

Това е, ΔBAC ≡ ΔCEF, така че трябва да:

BA = CE = AB = 6

BC = CF = 10

AC = EF

Но сегментът, който трябва да се изчисли, е BE = BC - EC = 10 - 6 = 4.

Така че верният отговор е (iii).

- Упражнение 2

Три триъгълника са показани на фигурата по-долу. Известно е също, че двата посочени ъгъла измерват 80º всеки и че сегментите AB = PD и AP = CD. Намерете стойността на ъгъла X, посочен на фигурата.

Фигура 10. Триъгълници за разрешения пример 2. Източник: Ф. Сапата.

Решение

Трябва да приложите свойствата на триъгълниците, които са подробно описани стъпка по стъпка.

Етап 1

Започвайки с критерия за конгруденция на триъгълника LAL, може да се каже, че триъгълниците BAP и PDC са конгруентни:

ΔBAP ≡ ΔPDC

Стъпка 2

Горното води до утвърждаване, че BP = PC, следователно триъгълникът ΔBPC е равнобедрен и ∡PCB = ∡PBC = X.

Стъпка 3

Ако наречем ъгъла BPC γ, следва, че:

2x + γ = 180º

Стъпка 4

И ако наречем ъглите APB и DCP β и α ъглите ABP и DPC, имаме:

α + β + γ = 180º (тъй като APB е равен ъгъл).

Стъпка 5

Освен това, α + β + 80º = 180º от сумата на вътрешните ъгли на триъгълника APB.

Стъпка 6

Комбинирайки всички тези изрази, ние имаме:

α + β = 100º

Стъпка 7

И следователно:

γ = 80º.

Стъпка 8

Накрая следва, че:

2X + 80º = 180º

С X = 50º.

Препратки

1. Балдор, А. 1973. Геометрия на равнината и космоса. Централноамериканска културна.
2. Фондация CK-12. Конгрунтни полигони. Възстановена от: ck 12.org.
3. Насладете се на математиката. Определения: Радиус (многоъгълник). Възстановени от: enjolasmatematicas.com.
4. Math Open Reference. Тестване на полигони за съответствие. Възстановени от: mathopenref.com.
5. Wikipedia. Конгруентност (геометрия). Възстановено от: es.wikipedia.org.
6. Сапата, Ф. Триъгълници, история, елементи, класификация, свойства. Възстановено от: lifeder.com.