Под краен набор се разбира всеки набор с ограничен или счетлив брой елементи. Примери за крайни набори са мраморите, които се съдържат в торбичка, набора от къщи в квартал или множеството P, образувано от първите двадесет (20) естествени числа:
P = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15, 16, 17, 18, 19, 20}
Наборът от звезди във Вселената със сигурност е огромен, но не се знае със сигурност дали е краен или безкраен. Наборът от планети в Слънчевата система обаче е ограничен.
Фигура 1. Наборът от многоъгълници е краен, а подмножеството и на обикновените. (Wikimedia Commons)
Броят на елементите в краен набор се нарича неговата кардиналност, а за множеството P се обозначава по следния начин: карта (P) или # P. Празната група има нулева кардиналност и се счита за краен набор.
Имоти
Сред свойствата на крайните множества са следните:
1- Съединението на крайни множества поражда нов краен набор.
2- Ако два крайни множества се пресичат, се получава нов краен набор.
3- Подмножеството на краен набор е ограничено и неговата кардиналност е по-малка или равна на тази на оригиналния набор.
4- Празният набор е ограничен набор.
Примери
Има много примери за ограничени множества. Някои примери включват следното:
Множеството М на месеците в годината, което в разширена форма може да бъде написано така:
M = {януари, февруари, март, април, май, юни, юли, август, септември, октомври, ноември, декември}, кардиналността на M е 12.
Заданието S на дните от седмицата: S = {понеделник, вторник, сряда, четвъртък, петък, събота, неделя}. Кардиналността на S е 7.
Множеството Ñ от буквите на испанската азбука е ограничен набор, този набор чрез разширение се записва така:
Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} и неговата кардиналност е 27.
Множеството V на гласните на испански е подмножество на множеството Ñ:
Следователно V ⊂ Ñ е ограничен набор.
Крайното множество V в обширна форма се записва така: V = {a, e, i, o, u} и неговата кардиналност е 5.
Наборите могат да бъдат изразени чрез разбиране. Множеството F, съставено от буквите на думата "ограничен", е пример:
F = {x / x е буква на думата "краен"}
Споменатият набор, изразен в обширна форма, ще бъде:
F = {f, i, n, t, o}, чиято кардиналност е 5 и следователно е ограничен набор.
Още примери
Цветовете на дъгата е друг пример за ограничен набор, наборът C от тези цветове е:
C = {червено, оранжево, жълто, зелено, циан, синьо, виолетово} и неговата кардиналност е 7.
Множеството от фазите F на Луната е друг пример за ограничен набор:
F = {Новолуние, първа четвърт, пълнолуние, последна четвърт} този набор има кардиналност 4.
Фигура 2. Планетите на Слънчевата система образуват ограничен набор. (Pixabay)
Друг краен набор е този, образуван от планетите на Слънчевата система:
P = {Меркурий, Венера, Земя, Марс, Юпитер, Сатурн, Уран, Нептун, Плутон} на кардиналност 9.
Решени упражнения
Упражнение 1
Следният набор A = {x∊ R / x ^ 3 = 27} е даден. Изразете го с думи и го напишете с разширение, посочете неговата кардиналност и кажете дали е ограничена или не.
Решение: Множеството A е множеството от реални числа x такива, че x кубично в резултат 27.
Уравнението x ^ 3 = 27 има три решения: те са x1 = 3, x2 = (-3/2 + 3√3 / 2 i) и x3 = (-3/2 - 3√3 / 2 i). От трите решения само x1 е реално, докато другите две са сложни числа.
Тъй като определението за множеството A казва, че x принадлежи към реалните числа, тогава решенията на сложните числа не са част от множеството A.
Множеството А, изразено широко, е:
A = {3}, което е краен набор от кардиналност 1.
Упражнение 2
Напишете в символна форма (чрез разбиране) и в обширна форма множеството B от реални числа, които са по-големи от 0 (нула) и по-малки или равни на 0 (нула). Посочете неговата кардиналност и дали е ограничена или не.
Решение: B = {x∊ R / 0 <x <= 0}
Множеството B е празно, защото реално число x не може да бъде едновременно по-голямо и по-малко от нула, точно както не може да бъде 0, а също и по-малко от 0.
B = {} и нейната кардиналност е 0. Празната група е ограничен набор.
Упражнение 3
Дадено е множеството S на решенията на определено уравнение. Множеството S чрез разбиране се пише така:
S = {x∊ R / (x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0}
Напишете споменатия набор в обширна форма, посочете неговата кардиналност и посочете дали това е ограничен набор или не.
Решение: Първо, при анализ на израза, който описва множеството S, се получава, че това е набор от реални х стойности, които са решения на уравнението:
(x-3) (x ^ 2 - 9x + 20) = 0 (*)
Решение на това уравнение е x = 3, което е реално число и следователно принадлежи на S. Но има повече решения, които могат да се получат, като се търсят решенията на квадратното уравнение:
(x ^ 2 - 9x + 20) = 0
Горният израз може да се вземе предвид по следния начин:
(x - 4) (x - 5) = 0
Което ни води до още две решения на първоначалното уравнение (*), които са x = 4 и x = 5. Накратко, уравнение (*) има като решения 3, 4 и 5.
Множеството S, изразено в обширна форма, изглежда така:
S = {3, 4, 5}, който има кардиналност 3 и следователно е ограничен набор.
Упражнение 4
Има две множества A = {1, 5, 7, 9, 11} и B = {x ∊ N / x е равно ^ x <10}.
Напишете изрично множеството B и намерете съединението с множеството А. Намерете също и прихващането на тези две множества и заключете.
Решение: набор B се състои от естествени числа, така че те са четни и също са по-малки от стойността 10, следователно в обширно множество B се записва, както следва:
B = {2, 4, 6, 8}
Съединението на набор A с множество B е:
AUB = {1, 2, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 11}
и прихващането на набор A с множество B е написано така:
A ⋂ B = {} = Ø е празният набор.
Трябва да се отбележи, че обединението и прихващането на тези два крайни множества водят до нови множества, които от своя страна също са ограничени.
Препратки
- Fuentes, A. (2016). ОСНОВНА МАТА. Въведение в смятане. Lulu.com.
- Гаро, М. (2014). Математика: квадратични уравнения: Как се решава квадратично уравнение. Марил Гаро.
- Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика за управление и икономика. Pearson Education.
- Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
- Preciado, CT (2005). Курс по математика 3-ти. Редакционен прогресо.
- Математика 10 (2018). „Примери за крайни набори“. Възстановена от: matematicas10.net
- Rock, NM (2006). Алгебра I е лесна! Толкова е лесно. Team Rock Press.
- Съливан, Дж. (2006). Алгебра и тригонометрия. Pearson Education.
- Wikipedia. Краен комплект. Възстановено от: es.wikipedia.com