КОНСТАНТА НА ИНТЕГРАЦИЯ: СМИСЪЛ, ИЗЧИСЛЕНИЕ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най- константа на интеграция е добавена стойност за изчисляване на antiderivatives или интеграли, тя служи за представяне на решенията, които съставляват примитивното на функция. Той изразява присъща неяснота, когато всяка функция има безкраен брой примитиви.

Например, ако вземем функцията: f (x) = 2x + 1 и получим нейното антидеривати:

∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C; Където C е константа на интегриране и представлява графично вертикалния превод между безкрайните възможности на примитива. Правилно е да се каже, че (x ² + x) е един от примитивите на f (x).

Източник: автор

По подобен начин можем да определим (x ² + x + C) като примитива на f (x).

Обратно свойство

Може да се отбележи, че при извличане на израза (x ² + x) се получава функцията f (x) = 2x + 1. Това се дължи на обратното свойство, съществуващо между деривацията и интегрирането на функциите. Това свойство позволява да се получат формули за интегриране, като се започне от диференциацията. Което позволява проверката на интегралите чрез едни и същи производни.

Източник: автор

Обаче (x ² + x) не е единствената функция, чиято производна е равна на (2x + 1).

1. d (x ² + x) / dx = 2x + 1
2. d (x ² + x + 1) / dx = 2x + 1
3. d (x ² + x + 2) / dx = 2x + 1
4. d (x ² + x + 3) / dx = 2x + 1
5. d (x ² + x + C) / dx = 2x + 1

Където 1, 2, 3 и 4 представляват конкретни примитиви на f (x) = 2x + 1. Докато 5 представлява неопределеният или примитивен интеграл на f (x) = 2x + 1.

Източник: автор

Примитивите на дадена функция се постигат чрез антидеривация или интегрален процес. Където F ще бъде примитив на f, ако е вярно следното

• y = ∫ f (x) dx = F (x) + C; C = константа на интеграция
• F '(x) = f (x)

Вижда се, че дадена функция има едно производно, за разлика от нейните безкрайни примитиви, произтичащи от интеграцията.

Неопределеният интеграл

∫ f (x) dx = F (x) + C

Тя съответства на семейство криви със същия модел, които изпитват несъответствие в стойността на изображенията на всяка точка (x, y). Всяка функция, която изпълнява този модел, ще бъде индивидуален примитив и наборът от всички функции е известен като неопределен интеграл.

Стойността на константата на интеграция ще бъде тази, която диференцира всяка функция на практика.

Най- константа на интеграцията предполага вертикална промяна във всички графики, представящи примитиви на функция. Където се наблюдава паралелизмът между тях и фактът, че C е стойността на изместването.

Според общоприетите практики, константата на интегриране се обозначава с буквата "C" след допълнение, въпреки че на практика е безразлично дали константата е добавена или извадена. Реалната му стойност може да се намери по различни начини при различни първоначални условия.

Други значения на константата на интеграция

Вече беше обсъдено как константата на интеграция се прилага в клона на интегралното смятане; Представлява семейство от криви, които определят неопределения интеграл. Но много други науки и отрасли са присвоили много интересни и практически ценности на константата на интеграция, които са улеснили развитието на множество изследвания.

Във физиката константата на интегриране може да приеме множество стойности в зависимост от естеството на данните. Много често срещан пример е познаването на функцията V (t), която представлява скоростта на частица спрямо времето t. Известно е, че при изчисляване на примитив на V (t) се получава функцията R (t), която представлява положението на частицата спрямо времето.

В константа на интеграция ще представлява стойността на първоначалното положение, което е по време Т = 0.

По същия начин, ако е известна функцията A (t), която представлява ускорението на частицата спрямо времето. Примитивът на A (t) ще доведе до функцията V (t), където константата на интегриране ще бъде стойността на началната скорост V ₀.

В икономиката чрез получаване чрез интеграция примитива на функция на разходите. Най- константа на интеграция ще представляват постоянните разходи. И толкова много други приложения, които заслужават диференциално и интегрално смятане.

Как се изчислява константата на интеграция?

За да се изчисли константата на интеграция, винаги ще е необходимо да се знаят първоначалните условия. Които отговарят за определянето на кой от възможните примитиви е съответният.

В много приложения той се третира като независима променлива по време (t), където константата C приема стойностите, които определят първоначалните условия на конкретния случай.

Ако вземем първоначалния пример: ∫ (2x + 1) dx = x ² + x + C

Валидно първоначално условие може да бъде условие, че графиката преминава през определена координата. Например знаем, че примитивът (x ² + x + C) преминава през точката (1, 2)

F (x) = x ² + x + C; това е общото решение

F (1) = 2

Заменяме общото решение в това равенство

F (1) = (1) ² + (1) + С = 2

Откъде лесно следва, че C = 0

По този начин съответният примитив за този случай е F (x) = x ² + x

Има няколко вида числени упражнения, които работят с константи на интеграция. Всъщност диференциалното и интегралното смятане не спира да се прилага в настоящите проучвания. На различни академични нива те могат да бъдат открити; от първоначалното изчисление, през физиката, химията, биологията, икономиката и др.

Ценено е и при изследването на диференциални уравнения, където константата на интегриране може да приема различни стойности и решения, това се дължи на множеството производни и интеграции, които се извършват по този въпрос.

Примери

Пример 1

1. Оръдие, разположено на височина 30 метра, изстрелва снаряд вертикално нагоре. Изходната скорост на снаряда е 25 m / s. Реши:

• Функцията, която определя позицията на снаряда по отношение на времето.
• Времето на полет или моментът от време, когато частицата удари земята.

Известно е, че при праволинейно движение, равномерно изменено, ускорението е постоянна стойност. Такъв е случаят с изстрелването на снаряда, където ускорението ще бъде гравитация

g = - 10 m / s ²

Известно е също, че ускорението е второто производно на позицията, което показва двойна интеграция в разделителната способност на упражнението, като по този начин се получават две интеграционни константи.

A (t) = -10

V (t) = ∫A (t) dt = ∫ (-10t) dt = -10t + C ₁

Първоначалните условия на упражнението показват, че началната скорост е V ₀ = 25 m / s. Това е скоростта в момента на t = 0. По този начин се удовлетворява, че:

V (0) = 25 = -10 (0) + C ₁ и С ₁ = 25

С определената функция на скоростта

V (t) = -10t + 25; Сходството може да се наблюдава с формулата MRUV (V _f = V ₀ + axt)

По хомоложен начин пристъпваме към интегриране на функцията за скорост, за да получим израза, който определя позицията:

R (t) = ∫V (t) dt = ∫ (-10t + 25) dt = -5t ² + 25t + C ₂

R (t) = -5t ² + 25t + C ₂ (примитивно положение)

Изходното положение R (0) = 30 m е известно. Тогава се изчислява конкретният примитив на снаряда.

R (0) = 30 метра = -5 (0) ² + 25 (0) + С ₂. Където С ₂ = 30

Пример 2

1. Намерете примитивния f (x), който отговаря на първоначалните условия:

• f '' (x) = 4; f '(2) = 2; f (0) = 7

С информацията за второто производно f '' (x) = 4 започва процесът на антидеривация

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫4 dx = 4x + C ₁

Тогава, знаейки условието f '(2) = 2, продължаваме:

4 (2) + С ₁ = 2

C ₁ = -6 и f '(x) = 4x - 8

Пристъпваме по същия начин за втората константа на интеграцията

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ (4x - 8) dx = 2x ² - 8x + C ₂

Изходното условие f (0) = 7 е известно и продължаваме:

2 (0) ² - 8 (0) + C ₂ = 7

C ₂ = 7 и f (x) = 2x ² - 8x + 7

• f '' (x) = x ²; f '(0) = 6; f (0) = 3

По подобен начин на предишния проблем дефинираме първите производни и оригиналната функция от първоначалните условия.

f '(x) = ∫f' '(x) dx

∫ (х ²) DX = (х ³ /3) + C ₁

Със условието f '(0) = 6 продължаваме:

(0 ^3/3) + C ₁ = 6; Когато С ₁ = 6 и F '(х) = (х ³ /3) + 6

Тогава втората константа на интеграция

f (x) = ∫f '(x) dx

∫ DX = (х ⁴ /12) + 6x + C ₂

Изходното условие f (0) = 3 е известно и продължаваме:

+ 6 (0) + С ₂ = 3; Където C ₂ = 3

Така получаваме примитивния конкретен

е (х) = (х ⁴ /12) + 6x + 3

Пример 3

1. Определете примитивните функции, дадени на производни и точка на графиката:

• dy / dx = 2x - 2, която преминава през точката (3, 2)

Важно е да запомните, че производни се отнасят до наклона на линията, допирателна към кривата в дадена точка. Където не е правилно да се предполага, че графиката на производната докосва посочената точка, тъй като това принадлежи на графиката на примитивната функция.

По този начин изразяваме диференциалното уравнение по следния начин:

∫dy = ∫ (2x - 2) dx

Прилагане на първоначалното условие:

2 = (3) ² - 2 (3) + С

С = -1

Получава се: f (x) = x ² - 2x - 1

• dy / dx = 3x ² - 1, който преминава през точката (0, 2)

Изразяваме диференциалното уравнение, както следва:

Прилагане на първоначалното условие:

2 = (0) ² - 2 (0) + С

С = 2

Получаваме: f (x) = x ³ - x + 2

Предложени упражнения

Упражнение 1

1. Намерете примитивния f (x), който отговаря на първоначалните условия:

• f '' (x) = x; f '(3) = 1; f (2) = 5
• f '' (x) = x + 1; f '(2) = 2; f (0) = 1
• f '' (x) = 1; f '(2) = 3; f (1) = 10
• f '' (x) = -x; f '(5) = 1; f (1) = -8

Упражнение 2

1. Балон, възходящ със скорост 16 фута / сек, спуска торба с пясък от височина 64 фута над нивото на земята.

• Определете времето на полета
• Какъв ще бъде векторът V _f, когато удари земята?

Упражнение 3

1. Фигурата показва графиката на времето за ускорение на автомобил, движещ се в положителна посока на оста x. Колата пътуваше с постоянна скорост от 54 км / ч, когато водачът натисна спирачките, за да спре след 10 секунди. Определи:

• Първоначалното ускорение на автомобила
• Скоростта на автомобила при t = 5s
• Преместването на автомобила по време на спиране

Източник: автор

Упражнение 4

1. Определете примитивните функции, дадени на производни и точка на графиката:

• dy / dx = x, който преминава през точката (-1, 4)
• dy / dx = -x ² + 1, който преминава през точката (0, 0)
• dy / dx = -x + 1, който преминава през точката (-2, 2)

Препратки

1. Интегрално смятане. Неопределените интегрални и интеграционни методи. Уилсън, Веласкес Бастидас. Университет Магдалена 2014г
2. Stewart, J. (2001). Изчисляване на променлива. Ранни трансцендентали. Мексико: Thomson Learning.
3. Jiménez, R. (2011). Математика VI. Интегрално смятане. Мексико: Pearson Education.
4. Физика I. Мак Грау Хил