ЦИЛИНДРИЧНИ КООРДИНАТИ: СИСТЕМА, ПРОМЯНА И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

На цилиндрични координати се използват за локализиране точки в триизмерното пространство и се състои от радиално координира ρ, φ азимута координира и Z координата на височина.

Точка P, разположена в пространството, се проектира ортогонално на равнината XY, пораждайки точката P 'в тази равнина. Разстоянието от началото до точката P 'определя координатата ρ, докато ъгълът, който оста X прави с лъча OP', определя координатата φ. Накрая, z координата е ортогоналната проекция на точка P върху оста Z. (виж фигура 1).

Фигура 1. Точка P на цилиндрични координати (ρ, φ, z). (Собствена разработка)

Радиалната координата ρ винаги е положителна, азимуталната координата φ варира от нула радиани до два pi радиана, докато z координатата може да приеме всяка реална стойност:

0 ≤ ρ <∞

0 ≤ φ <2π

- ∞ <z <+ ∞

Промяна на координати

Сравнително лесно е да се получат декартови координати (x, y, z) на точка P от нейните цилиндрични координати (ρ, φ, z):

x = ρ cos (φ)

y = ρ sin (φ)

z = z

Но също така е възможно да се получат полярните координати (ρ, φ, z), като се започне от познанието на декартовите координати (x, y, z) на точка P:

ρ = √ (x ² + y ²)

φ = арктан (y / x)

z = z

Векторна база в цилиндрични координати

Определена е основата на вектори на цилиндрични единици Uρ, Uφ, Uz.

Вектор Uρ е допирателен към линията φ = ctte и z = ctte (насочен радиално навън), векторът Uφ е допирателен към линията ρ = ctte и z = ctte и накрая Uz има същата посока на оста Z.

Фигура 2. Цилиндрична координатна основа. (wikimedia commons)

В основата на цилиндричната единица, векторът на позицията r на точка P се записва векториално така:

r = ρ Uρ + 0 Uφ + z Uz

От друга страна, безкрайно малко изместване d r от точка P се изразява, както следва:

d r = dρ Uρ + ρ dφ Uφ + dz Uz

По същия начин един безкрайно малък елемент на обем dV в цилиндрични координати е:

dV = ρ dρ dφ dz

Примери

Има безброй примери за използването и прилагането на цилиндрични координати. В картографията например се използва цилиндричната проекция, базирана именно на тези координати. Има още примери:

Пример 1

Цилиндричните координати имат приложения в технологията. Като пример имаме системата CHS (Cylinder-Head-Sector) на местоположението на данни на твърд диск, която всъщност се състои от няколко диска:

- Цилиндърът или коловоза съответстват на координатата ρ.

- Секторът съответства на положение φ на диска, който се върти с висока ъглова скорост.

- Главата съответства на z-положението на четящата глава на съответния диск.

Всеки байт информация има точен адрес в цилиндрични координати (C, S, H).

Фигура 2. Местоположение на информация в цилиндрични координати на система от твърди дискове. (wikimedia commons)

Пример 2

Строителните кранове фиксират позицията на товара в цилиндрични координати. Хоризонталното положение се определя от разстоянието до оста или стрелката на крана ρ и от ъгловото му положение φ по отношение на някаква базова ос. Вертикалното положение на товара се определя от z координатата на височината.

Фигура 3. Положението на товара върху строителен кран може лесно да се изрази в цилиндрични координати. (изображение pixabay - пояснения Р. Перес)

Решени упражнения

Упражнение 1

Има точки P1 с цилиндрични координати (3, 120º, -4) и точка P2 с цилиндрични координати (2, 90º, 5). Намерете евклидовото разстояние между тези две точки.

Решение: Първо, пристъпваме към намирането на декартови координати на всяка точка, следвайки формулата, дадена по-горе.

P1 = (3 * cos 120º, 3 * sin 120º, -4) = (-1.5, 2.60, -4)

P2 = (2 * cos 90º, 2 * sin 90º, 5) = (0, 2, 5)

Евклидовото разстояние между P1 и P2 е:

d (P1, P2) = √ ((0 - (-1.5)) ² + (2 - 2.60) ² + (5 - (- 4)) ²) =…

… √ (2,25 + 0,36 + 81) = 9,14

Упражнение 2

Точка P има декартови координати (-3, 4, 2). Намерете съответните цилиндрични координати.

Решение: Пристъпваме към намирането на цилиндричните координати, използвайки връзките, дадени по-горе:

ρ = √ (x ² + y ²) = √ ((- 3) ² + 4 ²) = √ (9 + 16) = √ (25) = 5

φ = арктан (y / x) = арктан (4 / (- 3)) = -53.13º + 180º = 126.87º

z = 2

Трябва да се помни, че арктангентната функция е многозначна с периодичност 180º. Също така ъгълът φ трябва да принадлежи на втория квадрант, тъй като координатите x и y на точка P са в този квадрант. Това е причината 180º да се добави към резултата φ.

Упражнение 3

Изразете в цилиндрични координати и в декартови координати повърхността на цилиндър с радиус 2 и чиято ос съвпада с оста Z.

Решение: Разбира се, че цилиндърът има безкрайно разширение в посока z, така че уравнението на споменатата повърхност в цилиндрични координати е:

ρ = 2

За получаване на декартово уравнение на цилиндричната повърхност се взема квадратът на двата члена от предишното уравнение:

ρ ² = 4

Умножаваме и двата члена на предишното равенство по 1 и прилагаме основната тригонометрична идентичност (sin ² (φ) + cos ² (φ) = 1):

1 * ρ ² = 1 * 4

(sin ² (φ) + cos ² (φ)) * ρ ² = 1 * 4

Скобите са разработени за получаване на:

(ρ sin (φ)) ² + (ρ cos (φ)) ² = 4

Спомняме си, че първите скоби (ρ sin (φ)) са y координатата на точка в полярни координати, докато скобите (ρ cos (φ)) представляват x координата, така че да имаме уравнението на цилиндъра в координати декартово:

y ² + x ² = 2 ²

Горното уравнение не трябва да се бърка с това на обиколка в равнината на XY, тъй като в този случай би изглеждало така: {y ² + x ² = 2 ²; z = 0}.

Упражнение 4

Цилиндър с радиус R = 1 m и височина H = 1m, неговата маса се разпределя радиално според следното уравнение D (ρ) = C (1 - ρ / R), където C е константа на стойност C = 1 kg / m ³, Намерете общата маса на цилиндъра в килограми.

Решение: Първото нещо е да осъзнаем, че функцията D (ρ) представлява обемната плътност на масата и че плътността на масата се разпределя в цилиндрични обвивки с намаляваща плътност от центъра към периферията. Безкрайно малък обемен елемент според симетрията на проблема е:

dV = ρ dρ 2π H

Следователно, безграничната маса на цилиндрична обвивка ще бъде:

dM = D (ρ) dV

Следователно, общата маса на цилиндъра ще бъде изразена със следния определен интеграл:

M = ∫ _или ^R D (ρ) dV = ∫ _или ^R C (1 - ρ / R) ρ dρ 2π H = 2π HC ∫ _или ^R (1 - ρ / R) ρ dρ

Решението на посочения интеграл не е трудно да се получи, като резултатът му е:

∫ _или ^R (1 - ρ / R) ρ dρ = (⅙) R ²

Включвайки този резултат в израза на масата на цилиндъра, получаваме:

М = 2π HC (⅙) R ² = ⅓ π HCR ² =

⅓ π 1m * 1kg / m ³ * 1m ² = π / 3 kg ≈ 1,05 kg

Препратки

1. Arfken G и Weber H. (2012). Математически методи за физици. Изчерпателно ръководство. 7-мо издание. Академична преса. ISBN 978-0-12-384654-9
2. Изчисляване cc Решени задачи на цилиндрични и сферични координати. Възстановена от: Calculo.cc
3. Weisstein, Eric W. "Цилиндрични координати." От MathWorld - Wolfram Web. Възстановени от: mathworld.wolfram.com
4. Уикипедия. Цилиндрична координатна система. Възстановено от: en.wikipedia.com
5. Уикипедия. Векторни полета в цилиндрични и сферични координати. Възстановено от: en.wikipedia.com