ЧЕТИРИЪГЪЛНИК: ЕЛЕМЕНТИ, СВОЙСТВА, КЛАСИФИКАЦИЯ, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

А четириъгълник е многоъгълник с четири страни и четири върха. Неговите противоположни страни са тези, които нямат общи върхове, докато последователни страни са тези, които имат обща върха.

В четириъгълник съседните ъгли споделят едната страна, докато противоположните ъгли нямат общи страни. Друга важна характеристика на четириъгълника е, че сумата от неговите четири вътрешни ъгъла е два пъти по-голяма от ъгъла на равнината, тоест 360 ° или 2π радиана.

Фигура 1. Различни четириъгълници. Източник: Ф. Сапата.

Диагоналите са сегментите, които се свързват с връх с неговата противоположност и в даден четириъгълник може да се изведе по един диагонал от всяка върха. Общият брой диагонали в четириъгълник е два.

Четириъгълниците са фигури, познати на човечеството от древни времена. Археологическите записи, както и строежите, които оцеляват днес, свидетелстват за това.

По същия начин и днес четириъгълниците продължават да имат важно присъствие в ежедневието на всеки. Читателят може да намери тази форма на екрана, на който в този момент чете текста, на прозорци, врати, автомобилни части и безброй други места.

Четиристранна класификация

Според паралелизма на противоположните страни четириъгълниците се класифицират, както следва:

1. Трапецовиден, когато няма паралелизъм и четириъгълникът е изпъкнал.
2. Трапецовидно, когато има паралелизъм между една двойка противоположни страни.
3. Паралелограма, когато нейните противоположни страни са успоредни две по две.

Фигура 2. Класификация и подкласификация на четиристранни. Източник: Wikimedia Commons.

Видове паралелограм

От своя страна паралелограмите могат да бъдат класифицирани според техните ъгли и техните страни, както следва:

1. Правоъгълникът е паралелограмът, който има своите четири вътрешни ъгъла с еднаква мярка. Вътрешните ъгли на правоъгълник образуват прав ъгъл (90 °).
2. Квадрат, той представлява правоъгълник с четирите си страни с еднаква мярка.
3. Ромбът е паралелограм с неговите четири равни страни, но различни съседни ъгли.
4. Ромбоид, паралелограм с различни съседни ъгли.

трапец

Трапецът е изпъкнал четириъгълник с две успоредни страни.

Фигура 3. Основи, страни, височина и средна стойност на трапец. Източник: Wikimedia Commons.

- В трапецовидните успоредни страни се наричат ​​основи, а непаралелните страни се наричат ​​странични.

- Височината на трапец е разстоянието между двете основи, тоест дължината на сегмент с краища в основите и перпендикулярни на тях. Този сегмент се нарича също височина на трапеца.

- Медианата е сегментът, който се присъединява към средните точки на страничните. Може да се покаже, че средната е успоредна на основите на трапецовида и дължината му е равна на полусеума на основите.

- Площта на трапеца е неговата височина, умножена по полусумата на основите:

Видове трапеции

-Правоъгълен трапецовид: той е този със страна, перпендикулярна на основите. Тази страна е и височината на трапеца.

-Изобедрен трапец: този със страни с еднаква дължина. В равнобедрен трапецовидния ъгъл в съседство с основите са равни.

-Скален трапец: този със страни с различна дължина. Неговите противоположни ъгли могат да бъдат един остър, а другият тъп, но също така може да се случи, че и двата са тъпи или и двата остри.

Фигура 4. Видове трапец. Източник: Ф. Сапата.

успоредник

Паралелограмът е четириъгълник, чиито противоположни страни са успоредни две по две. В паралелограм противоположните ъгли са равни, а съседните ъгли са допълнителни, или казано по друг начин, съседните ъгли добавят до 180 °.

Ако паралелограм има прав ъгъл, тогава всички останали ъгли ще бъдат твърде и получената фигура се нарича правоъгълник. Но ако правоъгълникът има и съседните си страни с еднаква дължина, тогава всичките му страни са равни и получената фигура е квадрат.

Фигура 5. Паралелограми. Правоъгълникът, квадратът и ромбът са паралелограми. Източник: Ф. Сапата.

Когато паралелограм има две съседни страни с една и съща дължина, всичките му страни ще бъдат с еднаква дължина, а получената фигура е ромб.

Височината на паралелограм е сегмент с краища на противоположните му страни и перпендикулярни на тях.

Площ на паралелограм

Площта на паралелограм е произведението на основата, равна на височината му, като основата е страна, перпендикулярна на височината (фигура 6).

Диагонали на паралелограм

Квадратът на диагонала, който започва от върха, е равен на сумата от квадратите на двете страни, съседни на споменатата върха плюс двойното произведение на тези страни от косинуса на ъгъла на тази върха:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

Фигура 6. Паралелограма. Противоположни ъгли, височина, диагонали. Източник: Ф. Сапата.

Квадратът на диагонала, който е срещу върха на паралелограм, е равен на сумата от квадратите на двете страни, съседни на споменатата върха, и изваждането на двойния продукт на тези страни от косинуса на ъгъла на тази върха:

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

Закон на паралелограмите

Във всеки паралелограм сумата от квадратите на неговите страни е равна на сбора от квадратите на диагоналите:

a ² + b ² + c ² + d ² = f ² + g ²

re ctángulo

Правоъгълникът е четириъгълник с неговите противоположни страни успоредни две на две и който също има прав ъгъл. С други думи, правоъгълникът е вид паралелограм с прав ъгъл. Тъй като е паралелограм, правоъгълникът има противоположни страни с еднаква дължина a = c и b = d.

Но както при всеки паралелограм съседните ъгли са допълнителни, а противоположните ъгли са равни, в правоъгълника, тъй като има прав ъгъл, той задължително ще образува прави ъгли в другите три ъгъла. С други думи, в правоъгълник всички вътрешни ъгли измерват 90 ° или π / 2 радиана.

Диагонали на правоъгълник

В правоъгълник диагоналите са с еднаква дължина, както ще бъде показано по-долу. Мотивите са следните; Правоъгълник е паралелограм с всичките му прави ъгли и следователно наследява всички свойства на паралелограма, включително формулата, която дава дължината на диагоналите:

f ² = a ² + d ² + 2 ad Cos (α)

g ² = a ² + d ² - 2 ad Cos (α)

с α = 90º

Тъй като Cos (90º) = 0, то се случва, че:

f ² = g ² = a ² + d ²

Тоест, f = g, и следователно дължините f и g на двата диагонала на правоъгълника са равни и дължината им се дава от:

Освен това, ако в правоъгълник със съседни страни a и b едната страна се вземе за основа, другата страна ще бъде височина и следователно площта на правоъгълника ще бъде:

Площ на правоъгълника = ос b.

Периметърът е сумата от всички страни на правоъгълника, но тъй като противоположностите са равни, следва, че за правоъгълник със страни a и b периметърът е даден със следната формула:

Периметър на правоъгълник = 2 (a + b)

Фигура 7. Правоъгълник със страни a и b. Диагоналите f и g са с еднаква дължина. Източник: Ф. Сапата.

Квадрат

Квадратът е правоъгълник с прилежащите му страни еднаква дължина. Ако квадратът има страна a, тогава неговите диагонали f и g имат еднаква дължина, която е f = g = (√2) a.

Площта на квадрат е страничният му квадрат:

Площ на квадрат = a ²

Периметърът на квадрат е два пъти по-голям от страната:

Периметър на квадрат = 4 a

Фигура 8. Квадрат със страна a, обозначаваща неговата площ, периметъра и дължината на диагоналите му. Източник: Ф. Сапата..

диамант

Ромбът е паралелограм с неговите съседни страни еднаква дължина, но тъй като в паралелограм противоположните страни са равни, тогава всички страни на ромба са равни по дължина.

Диагоналите на ромб са с различна дължина, но се пресичат под прав ъгъл.

Фигура 9. Ромб на страна а, показваща площта, периметъра и дължината на диагоналите му. Източник: Ф. Сапата.

Примери

Пример 1

Покажете, че в четириъгълник (не се пресича) вътрешните ъгли достигат 360 °.

Фигура 10: Показано е как сборът на ъглите на четириъгълник достига 360 °. Източник: Ф. Сапата.

Разглежда се четириъгълник ABCD (виж фигура 10) и се начертава диагоналът BD. Образуват се два триъгълника ABD и BCD. Сумата от вътрешните ъгли на триъгълник ABD е:

α + β ₁ + δ ₁ = 180º

А сумата от вътрешните ъгли на триъгълник BCD е:

β2 + γ + δ ₂ = 180º

Добавяйки двете уравнения, които получаваме:

α + β ₁ + δ ₁ + β ₂ + γ + δ ₂ = 180º + 180º

Групирането на:

α + (β ₁ + β ₂) + (δ ₁ + δ ₂) + γ = 2 * 180º

Чрез групиране и преименуване най-накрая е показано, че:

α + β + δ + γ = 360º

Пример 2

Покажете, че средната стойност на трапеца е успоредна на неговите основи, а дължината му е полусеума на основите.

Фигура 11. Средна MN на трапеца ABCD. Източник: Ф. Сапата.

Медианата на трапеца е сегментът, който свързва средните точки на неговите страни, тоест непаралелните страни. В трапецовидния ABCD, показан на фигура 11, медианата е MN.

Тъй като M е средната точка на AD и N е средната точка на BC, съотношенията AM / AD и BN / BC са равни.

Тоест, AM е пропорционален на BN в същата пропорция, както AD е спрямо BC, така че са дадени условията за прилагане на теорията на Талес (реципрочна), която гласи следното:

"Ако пропорционалните сегменти се определят в три или повече линии, отрязани от два секанта, всички тези линии са успоредни."

В нашия случай се заключава, че линиите MN, AB и DC са успоредни една на друга, следователно:

"Медианата на трапеца е успоредна на неговите основи."

Сега ще се приложи теоремата на Фалес:

„Набор от паралели, отрязани от два или повече секанта, определят пропорционалните сегменти.“

В нашия случай AD = 2 AM, AC = 2 AO, така че триъгълникът DAC е подобен на триъгълника MAO, и следователно DC = 2 MO.

Подобен аргумент ни позволява да потвърдим, че CAB е подобен на CON, където CA = 2 CO и CB = 2 CN. Веднага следва, че AB = 2 ON.

Накратко, AB = 2 ON и DC = 2 MO. Така че при добавяне имаме:

AB + DC = 2 ON + 2 MO = 2 (MO + ON) = 2 MN

Накрая MN се изчиства:

MN = (AB + DC) / 2

И се стига до заключението, че медианата на трапеца измерва полусумата на базите или казано по друг начин: медианата измерва сумата от базите, разделена на две.

Пример 3

Покажете, че в ромб диагоналите се пресичат под прав ъгъл.

Фигура 12. Ромб и демонстрация, че диагоналите му се пресичат под прав ъгъл. Източник: Ф. Сапата.

Черната дъска на фигура 12 показва необходимата конструкция. Първо се извежда паралелограм ABCD с AB = BC, тоест ромб. Диагоналите AC и DB определят осем ъгъла, показани на фигурата.

Използвайки теоремата (aip), която гласи, че редуващи се вътрешни ъгли между паралели, отрязани от секант, определят равни ъгли, можем да установим следното:

α ₁ = γ ₁, α2 = γ2, δ ₁ = β ₁ и δ2 = β2. (*)

От друга страна, тъй като съседните страни на ромба са с еднаква дължина, се определят четири равнобедрени триъгълника:

DAB, BCD, CDA и ABC

Сега се извиква теоремата за триъгълника (равнобедрената), която гласи, че ъглите, съседни на основата, са с еднаква мярка, от което се заключава, че

δ ₁ = β2, δ2 = β ₁, α2 = γ ₁ и α ₁ = γ2 (**)

Ако отношенията (*) и (**) са комбинирани, се постига следното равенство на ъглите:

α ₁ = α2 = γ ₁ = γ _1, от една страна, и β ₁ = β2 = δ ₁ = δ2, от друга.

Припомняйки теоремата за равни триъгълници, която гласи, че два триъгълника с еднаква страна между два равни ъгъла са равни, имаме:

AOD = AOB и следователно също ъглите ∡AOD = ∡AOB.

Тогава ∡AOD + ∡AOB = 180º, но тъй като и двата ъгъла са с еднаква мярка, имаме 2 ∡AOD = 180º, което означава, че ∡AOD = 90º.

Тоест, геометрично е показано, че диагоналите на ромб се пресичат под прав ъгъл.

Упражненията са решени

- Упражнение 1

Покажете, че в прав трапецоид неправите ъгли са допълнителни.

Решение

Фигура 13. Прав трапец. Източник: Ф. Сапата.

Трапецовидният ABCD е конструиран с основи AB и DC успоредни. Вътрешният ъгъл на върха А е правилен (той измерва 90º), така че имаме правилен трапец.

Ъглите α и δ са вътрешни ъгли между два паралела AB и DC, следователно те са равни, тоест δ = α = 90º.

От друга страна е показано, че сумата от вътрешните ъгли на четириъгълник се равнява на 360º, тоест:

α + β + γ + δ = 90º + β + 90º + δ = 360º.

Горното води до:

β + δ = 180º

Потвърждаване на това, което се искаше да покаже, че ъглите β и δ са допълнителни.

- Упражнение 2

Паралелограм ABCD има AB = 2 cm и AD = 1 cm, в допълнение ъгълът BAD е 30º. Определете площта на този паралелограм и дължината на двата му диагонала.

Решение

Площта на паралелограм е произведението на дължината на основата му и височината му. В този случай дължината на сегмента b = AB = 2 cm ще бъде взета за основа, другата страна има дължина a = AD = 1 cm и височината h ще се изчисли, както следва:

h = AD * Sen (30º) = 1 cm * (1/2) = ½ cm.

И така: площ = b * h = 2 cm * ½ cm = 1 cm ².

Препратки

1. CEA (2003). Елементи на геометрията: с упражнения и геометрия на компаса. Университет в Меделин.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Математика 2. Grupo редакционна патрия.
3. Фрийд, К. (2007). Открийте полигони. Бенчмарк образователна компания.
4. Хендрик, В. (2013). Обобщени многоъгълници. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Математика Първи семестър Tacaná. Iger.
6. Младши геометрия. (2014). Полигони. Lulu Press, Inc.
7. Милър, Херен и Хорнсби. (2006 г.). Математика: разсъждения и приложения (десето издание). Pearson Education.
8. Патиньо, М. (2006). Математика 5. Редакционен прогрес.
9. Wikipedia. Четириъгълници. Възстановено от: es.wikipedia.com