ВЪЖЕ (ГЕОМЕТРИЯ): ДЪЛЖИНА, ТЕОРЕМА И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

А акорд, в планиметрия, е отсечката, която се присъединява към две точки на кривата. Линията, която съдържа този сегмент, се казва, че е секантна линия на кривата. Това често е кръг, но акордите със сигурност могат да бъдат начертани на много други криви, като например елипси и параболи.

На фигура 1 вляво има крива, към която принадлежат точки A и B. Акондата между A и B е зеленият сегмент. Вдясно е обиколка и една от нейните струни, тъй като е възможно да се нарисуват безкрайности.

Фигура 1. Вляво хордата на произволна крива и вдясно хордата на окръжност. Източник: Wikimedia Commons.

По обиколката диаметърът му е особено интересен, който е известен и като основния акорд. Това е акорд, който винаги съдържа центъра на обиколката и измерва два пъти радиуса.

Следващата фигура показва радиуса, диаметъра, акорда и също дъгата на обиколка. Правилното идентифициране на всеки от тях е важно при решаването на проблеми.

Фигура 2. Елементи на обиколката. Източник: Wikimedia Commons.

Дължина на акорда на кръг

Можем да изчислим дължината на акорда в кръг от фигури 3а и 3б. Обърнете внимание, че винаги се образува триъгълник с две равни страни (равнобедрени): отсечки OA и OB, които измерват R, радиусът на обиколката. Третата страна на триъгълника е сегмент AB, наречен C, което е точно дължината на акорда.

Необходимо е да се начертае линия, перпендикулярна на хордата С, за да се пресече ъгълът θ, който съществува между двата радиуса и чиято върха е центърът на обиколката. Това е централен ъгъл - тъй като върхът му е центърът - и бисекторната линия също е секант на обиколката.

Веднага се образуват два десни триъгълника, чиято хипотенуза измерва R. Тъй като бисектрисата, а с нея и диаметърът, разделя хордата на две равни части, се оказва, че единият крак е половин от С, както е посочено в Фигура 3б.

От определението на синуса на ъгъл:

sin (θ / 2) = противоположния крак / хипотенуза = (C / 2) / R

По този начин:

sin (θ / 2) = C / 2R

C = 2R sin (θ / 2)

Фигура 3. Триъгълникът, образуван от два радиуса и хорда на обиколката, е равнобедрен (фигура 3), тъй като има две равни страни. Бисектрисата го разделя на два десни триъгълника (фигура 3б). Източник: подготвен от Ф. Сапата.

Теорема на струните

Теоремата на струните върви така:

Следващата фигура показва два акорда с една и съща обиколка: AB и CD, които се пресичат в точка P. В акорда AB се дефинират сегментите AP и PB, докато в акорда CD са определени CP и PD. Така според теоремата:

AP. PB = CP. Послепис

Фигура 4. Теорема за акорда на окръжност. Източник: Ф. Сапата.

Решени упражнения на струни

- Упражнение 1

Кръгът има акорд от 48 см, което е на 7 см от центъра. Изчислете площта на окръжността и периметъра на обиколката.

Решение

За да изчислите площта на окръжност A, достатъчно е да знаете радиуса на обиколката в квадрат, тъй като е вярно:

А = π.R ²

Сега фигурата, която се оформя с предоставените данни, е десен триъгълник, чиито крака са съответно 7 и 24 см.

Фигура 5. Геометрия на разрешеното упражнение 1. Източник: Ф. Сапата.

Следователно, за да се намери стойността на R ², Питагоровата теорема в ² = а ² + б ² се прилага директно, тъй като R е хипотенузата на триъгълника:

R ² = (7 cm) ² + (24 cm) ² = 625 cm ²

Така че исканата зона е:

A = π. 625 см ² = 1963,5 см ²

По отношение на периметъра или дължината L на обиколката, тя се изчислява по:

L = 2π. R

Заместващи стойности:

R = √625 cm ² = 25 cm

L = 2π. 25 см = 157,1 см.

- Упражнение 2

Определете дължината на акорда на окръжност, чието уравнение е:

x ² + y ² - 6x - 14y -111 = 0

Координатите на средната точка на акорда са известни като P (17/2; 7/2).

Решение

В средната точка на акорда P не принадлежи на обиколката, но в крайните точки на акорда. Проблемът може да бъде решен с помощта на низката теорема, изречена по-рано, но първо е удобно да се напише уравнението на обиколката в канонична форма, да се определи нейният радиус R и центъра му O.

Стъпка 1: получете каноничното уравнение на обиколката

Каноничното уравнение на окръжността с център (h, k) е:

(XH) ² + (YK) ² = R ²

За да го получите, трябва да попълните квадратчета:

(x ² - 6x) + (y ² - 14y) -111 = 0

Обърнете внимание, че 6x = 2. (3x) и 14y = 2. (7y), така че предишният израз е пренаписан така, оставайки непроменен:

(x ² - 6x + 3 ² -3 ²) + (y ² - 14y + 7 ² -7 ²) -111 = 0

И сега, запомняйки определението за забележителен продукт (ab) ² = a ² - 2ab + b ^2, можете да напишете:

(x - 3) ² - 3 ² + (y - 7) ² - 7 ² - 111 = 0

= (x - 3) ² + (y - 7) ² = 111 + 3 ² + 7 ² → (x - 3) ² + (y - 7) ² = 169

Обиколката има център (3,7) и радиус R = √169 = 13. Следващата фигура показва графиката на обиколката и акордите, които ще се използват в теоремата:

Фигура 6. Графика на обиколката на разрешеното упражнение 2. Източник: F. Zapata, използвайки онлайн графичния калкулатор Mathway.

Стъпка 2: определете сегментите, които да използвате в теоремата на низовете

Използваните сегменти са низовете CD и AB, съгласно фигура 6, и двата се нарязват в точка P, следователно:

CP. PD = AP. PB

Сега ще намерим разстоянието между точките O и P, тъй като това ще ни даде дължината на сегмента OP. Ако добавим радиуса към тази дължина, ще имаме сегмента CP.

Разстоянието d _OP между две координатни точки (x ₁, y ₁) и (x ₂, y ₂) е:

d _OP ² = OP ² = (x ₂ - x ₁) ² + (y ₂ - y ₁) ² = (3- 17/2) ² + (7- 7/2) ² = 121/4 + 49/4 = 170/4

d _OP = OP = √170 / 2

С всички получени резултати, плюс графиката, конструираме следния списък от сегменти (виж фигура 6):

CO = 13 cm = R

OP = √170 / 2 cm

CP = OP + R = 13 + √170 / 2 cm

PD = OD - OP = 13 - √170 / 2 cm

AP = PB

2.AP = дължина на акорда

Подмяна в теоремата на низовете:

CP. PD = AP. PB = = AP ²

= AP ²

253/2 = AP ²

AP = √ (253/2)

Дължината на низа е 2.AP = 2 (√253 / 2) = √506

Може ли читателят да реши проблема по друг начин?

Препратки

1. Балдор, А. 2004. Плоска и космическа геометрия с тригонометрия. Publicaciones Cultural SA de CV México.
2. C-К12. Дължина на акорд. Възстановено от: ck12.org.
3. Ескобар, Й. Окръжността. Възстановено от: matematicas.udea.edu.co.
4. Вилена, М. Cónicas. Възстановено от: dspace.espol.edu.ec.
5. Wikipedia. Въже (геометрия). Възстановено от: es.wikipedia.org.