ПРОИЗВОДНО ОТ КОТАНГЕНС: ИЗЧИСЛЕНИЕ, ДОКАЗАТЕЛСТВО, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

На производно на котангенс е равна на обратното на квадрата на косеканс "-ОС ² ". Тази формула се подчинява на законите на производното по дефиниция и диференциацията на тригонометричните функции. Обозначава се както следва:

d (ctg u) = -csc ² u. дю

Където "du" символизира израза, получен от аргументната функция, по отношение на независимата променлива.

Източник: Pixabay.com

Как се изчислява?

Процедурата за разработване на тези производни е доста проста. Достатъчно е само правилно да идентифицирате аргумента и вида на функцията, която представлява.

Например, изразът Ctg (f / g) има разделение в аргумента си. Това ще изисква диференциране по отношение на U / V, след разработването на производната на котангента.

Котангентът е реципрочен на допирателната. Алгебрично това означава, че:

(1 / tg x) = ctg x

Ctg x = Cos x / Sen x

Неправилно е да се твърди, че котангенсната функция е "обратната" на допирателната. Това е така, защото обратната допирателна функция по дефиниция е дъгова допирателна.

(Tg ^-1 x) = arctg x

Според тригонометрията на Питагор, котангентът участва в следните раздели:

Ctg x = (cos x) / (sin x)

Ctg ² x + 1 = Csc ² x

Според аналитичната тригонометрия, тя отговаря на следните идентичности:

Ctg (a + b) = (1 - tg a. Tg b) / (tg a + tg b)

Ctg (a - b) = (1 + tg a. Tg b) / (tg a - tg b)

Ctg (2a) = (1 - tg ² a) / (2tg a)

Характеристики на котагентната функция

Необходимо е да се анализират различни характеристики на функцията f (x) = ctg x, за да се определят аспектите, необходими за изучаване на нейната диференцируемост и приложение.

Вертикални асимптоти

Функцията на котангента не е дефинирана върху стойностите, които правят израза "Senx" нулев. Поради еквивалентния си Ctg x = (cos x) / (sin x), той ще има неопределеност във всички „nπ“ с n принадлежащи на целите числа.

Тоест във всяка от тези стойности на x = nπ ще има вертикална асимптота. Когато се приближите отляво, стойността на котангента ще намалее бързо, а когато се приближите отдясно, функцията ще се увеличава за неопределено време.

домейн

Областта на котангенсната функция се изразява чрез множеството {x ∈ R / x ≠ nπ, n ∈ Z}. Това се чете като "x, принадлежащо към множеството реални числа, така че x е различно от nπ, като n принадлежи към множеството от цели числа".

ранг

Обхватът на котагентната функция е от минус до плюс безкрайност. Следователно може да се заключи, че рангът му е множеството от реални числа R.

Честота

Функцията на котангента е периодична и нейният период е равен на π. По този начин се изпълнява равенството Ctg x = Ctg (x + nπ), където n принадлежи към Z.

Поведение

Това е странна функция, тъй като Ctg (-x) = - Ctg x. По този начин е известно, че функцията представя симетрия по отношение на координатния произход. Той също така представя намаляване на всеки интервал, разположен между 2 последователни вертикални асимптоти.

Той няма максимални или минимални стойности, поради факта, че приближенията му към вертикалните асимптоти представят поведение, при което функцията се увеличава или намалява за неопределено време.

Нулите или корените на котангенсната функция се намират при нечетни кратни на π / 2. Това означава, че Ctg x = 0 важи за стойности на формата x = nπ / 2 с n нечетно цяло число.

демонстрация

Има два начина за доказване на производната на котангентната функция.

Тригонометрично диференциално доказателство

Доказано е производното на котангентната функция от нейния еквивалент в синуси и косинуси.

Той се третира като производно на разделение на функциите

След извличането факторите се групират и целта е да се подражават на питагорейските идентичности

Подмяна на идентичностите и прилагане на реципрочност, изразът

Доказателство по дефиниция на производна

Следният израз съответства на деривата по дефиниция. Където разстоянието между 2 точки на функцията се доближава до нула.

Заместване на котангента имаме:

Идентичността се прилага за сумата от аргументи и реципрочност

Фракцията на числителя се използва традиционно

Елиминирайки противоположните елементи и вземайки общ фактор, получаваме

Прилагайки питагорейските идентичности и реципрочност, ние трябва да

Елементите, оценени в х, са постоянни по отношение на границата, следователно те могат да оставят аргумента на това. Тогава се прилагат свойства на тригонометрични граници.

Ограничението се оценява

След това се взема предвид, докато се достигне желаната стойност

Така производната на котангента се демонстрира като противоположна на квадрата на сексанта.

Решени упражнения

Упражнение 1

Въз основа на функцията f (x), определете израза f '(x)

Съответното производно се прилага при спазване на правилото на веригата

Извличане на аргумента

Понякога е необходимо да се прилагат реципрочни или тригонометрични идентичности, за да се адаптират решенията.

Упражнение 2

Определете диференциалния израз, съответстващ на F (x)

Според формулата за извличане и спазване на верижното правило

Аргументът е изведен, докато останалото остава същото

Извличане на всички елементи

Работа по традиционен начин продуктите от същата база

Добавят се равните елементи и се извлича общият фактор

Знаците се опростяват и работят. Давайки път на напълно извлечения израз

Препратки

1. Тригонометрична серия, том 1. А. Зигмунд. Cambridge University Press, 2002
2. Изчисляване на единична променлива. Рон Ларсън, Брус Х. Едуардс. Cengage Learning, 10 ноември 2008
3. Изчисляване с тригонометрия и аналитична геометрия. Джон Х. Саксон, Джон Саксон, Франк Уанг, Даяна Харви. Saxon Publishers, 1988
4. Многопроменен анализ. Сатиш Ширали, Харкришан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 декември. 2010
5. Динамика на системата: Моделиране, симулация и управление на мехатронни системи. Дийн К. Карноп, Доналд Л. Марголис, Роналд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 март 2012
6. Изчисление: Математика и моделиране. Уилям Боулди, Джоузеф Р. Фидлер, Франк Р. Джордано, Ед Лоди, Рик Витрай. Адисън Уесли Лонгман, 1 януари 1999