АЛГЕБРИЧНИ ПРОИЗВОДНИ (С ПРИМЕРИ) - МАТЕМАТИКА - 2025

На алгебрични производни състоят от изследването на производното в случай на алгебрични функции. Произходът на понятието производно датира от Древна Гърция. Развитието на тази представа е мотивирано от необходимостта да се решат два важни проблема, един във физиката, а другият в математиката.

Във физиката производното решава задачата за определяне на моменталната скорост на движещ се обект. В математиката тя ви позволява да намерите допирателната линия към крива в дадена точка.

Въпреки че има наистина много повече проблеми, които се решават чрез използване на производната, както и нейните обобщения, резултати, дошли след въвеждането на нейната концепция.

Пионерите на диференциалното смятане са Нютон и Лайбниц. Преди да дадем официалната дефиниция, ние ще разработим идеята зад нея от математическа и физическа гледна точка.

Производната като наклон на допирателната линия към крива

Да предположим, че графиката на функция y = f (x) е непрекъсната графика (без върхове или върхове или пропуски) и нека A = (a, f (a)) е неподвижна точка върху нея. Искаме да намерим уравнението на линията допирателна към графиката на функцията f в точка А.

Нека вземем всяка друга точка P = (x, f (x)) на графиката, близо до точка A, и изчертаваме секантната линия, която преминава през A и P. Секантната линия е линия, която отрязва графиката на крива от една или повече точки.

За да получим желаната допирателна линия, трябва само да изчислим наклона, тъй като вече имаме точка на линията: точка А.

Ако преместим точка P по графика и се приближим и по-близо до точка A, споменатата по-рано секантна линия ще се приближи до тангенсната линия, която искаме да намерим. Поемайки лимита, когато „P клони към A“, и двете линии ще съвпадат, следователно и техните наклони.

Наклонът на секантната линия е даден от

Да кажем, че P се приближава до A е равнозначно на това, че "x" се приближава до "a". По този начин наклонът на допирателната линия към графиката на f в точка A ще бъде равен на:

Горният израз се обозначава с f '(a) и се дефинира като производно на функция f в точката "a". Следователно виждаме, че аналитично производната на функция в дадена точка е граница, но геометрично тя е наклона на допирателната линия към графиката на функцията в точката.

Сега ще разгледаме това понятие от гледна точка на физиката. Ще стигнем до същия израз на предишната граница, макар и по различен път, като по този начин ще постигнем единодушие на определението.

Производната като моментална скорост на движещ се обект

Нека разгледаме кратък пример за това какво означава моментална скорост. Когато се каже например, че кола, за да стигне до дестинация, направи това със скорост 100 км в час, което означава, че за един час измина 100 км.

Това не означава непременно, че през целия час колата винаги е била на 100 км, скоростомерът на колата може в някои моменти да маркира по-малко или повече. Ако сте имали нужда да спрете на светофар, скоростта ви по това време е била 0 км. След час обаче пътуването беше на 100 км.

Това е това, което е известно като средна скорост и се дава от коефициента на изминатото разстояние и изминалото време, както току-що видяхме. Моменталната скорост, от друга страна, е тази, която маркира иглата на скоростомера на автомобила в даден момент (време).

Нека разгледаме това сега по-общо. Да предположим, че даден обект се движи по права линия и че това изместване е представено от уравнението s = f (t), където променливата t измерва времето, а променливата s - преместването, като се взема предвид нейното начало в момента t = 0, по това време той също е нула, тоест f (0) = 0.

Тази функция f (t) е известна като функция на позицията.

Търси се израз за мигновената скорост на обекта във фиксиран момент "а". С тази скорост ще го обозначим с V (a).

Нека t е всеки момент, близък до моментално "a" Във времевия интервал между „a” и „t” промяната в позицията на обекта се дава от f (t) -f (a).

Средната скорост в този интервал от време е:

Което е приближение на моментната скорост V (a). Това приближение ще бъде по-добро, тъй като t се доближава до "a". По този начин,

Обърнете внимание, че този израз е същият като този, получен в предишния случай, но от различна гледна точка. Това е това, което е известно като производно на функция f в точка "а" и се обозначава с f '(a), както е посочено по-горе.

Обърнете внимание, че правейки промяната h = xa, имаме, че когато "x" има тенденция към "a", "h" има тенденция към 0, а предишната граница се трансформира (еквивалентно) в:

И двата израза са еквивалентни, но понякога е по-добре да използвате единия вместо другия, в зависимост от случая.

След това производната на функция f във всяка точка "x", принадлежаща към нейната област, се дефинира по по-общ начин като

Най-често срещаната обозначение за представяне на производната на функция y = f (x) е тази, която току-що видяхме (f 'или y'). Друга широко използвана нотация обаче е нотация на Лайбниц, която е представена като някой от следните изрази:

Тъй като дериватът е по същество лимит, той може да съществува или да не съществува, тъй като ограниченията не винаги съществуват. Ако съществува, се казва, че въпросната функция е диференцируема в дадената точка.

Алгебраична функция

Алгебраичната функция е комбинация от полиноми чрез събиране, изваждане, продукти, коефициенти, сили и радикали.

Полином е израз на формата

P _n = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 + a _n-2 x ^n-2 +… + a ₂ x ² + a ₁ x + a ₀

Където n е естествено число и всички a _i, с i = 0,1,…, n, са рационални числа и _n ≠ 0. В този случай се казва, че степента на този полином е n.

Следват примери за алгебраични функции:

Тук не са включени експоненциални, логаритмични и тригонометрични функции. Правилата за деривация, които ще видим по-нататък са валидни за функциите като цяло, но ще се ограничим и ще ги приложим в случай на алгебрични функции.

Правила за байпас

Производно на константа

Заявява, че производната на константа е нула. Тоест, ако f (x) = c, тогава f '(x) = 0. Например, производната на постоянната функция 2 е равна на 0.

Производно на мощност

Ако f (x) = x ⁿ, тогава f '(x) = nx ^n-1. Например, производното на х ³ е 3x ². Като следствие от това получаваме, че производната на функцията за идентичност f (x) = x е f '(x) = 1x ^1-1 = x ⁰ = 1.

Друг пример е следният: нека f (x) = 1 / x ², тогава f (x) = x ^-2 и f '(x) = - 2x ^-2-1 = -2x ^-3.

Това свойство също е валидни корени, тъй като корените са рационални сили и горното може да се приложи и в този случай. Например, производната на квадратен корен е дадена от

Производни на събиране и изваждане

Ако f и g са диференцируеми функции в x, тогава сумата f + g също е диференцируема и е удовлетворено, че (f + g) '(x) = f' (x) + g '(x).

По същия начин имаме това (fg) '(x) = f' (x) -g '(x). С други думи, производната на сума (изваждане) е сумата (или изваждане) на дериватите.

пример

Ако h (x) = x ² + x-1, тогава

h '(x) = (x ²) + (x)' - (1) '= 2x + 1-0 = 2x + 1.

Получени от продукт

Ако f и g са диференцируеми функции в x, то продуктът fg също е различим в x и е вярно, че

(fg) '(x) = f' (x) g (x) + f (x) g '(x).

Вследствие на това следва, че ако c е константа и f е диференцируема функция в x, тогава cf е диференцируема и в x и (cf) '(x) = cf' (X).

пример

Ако f (x) = 3x (x ² +1), тогава

f '(x) = (3x)' (x ² +1) + (3x) (x ² +1) '= 3 (x)' (x ² +1) + 3x

= 3 (1) (x ² +1) + 3x = 3 (x ² +1) + 3x (2x) = 3x ² + 3 + 6x ²

= 9x ² +3.

Производно от коефициент

Ако f и g са диференцируеми при x и g (x) ≠ 0, тогава f / g също е диференцируемо при x и е вярно, че

Пример: ако h (x) = x ³ / (x ² -5x), тогава

h '(x) = / (x ⁵ -5x) ² = / (x ⁵ -5x) ².

Верижно правило

Това правило позволява да се извлече съставът на функциите. Посочете следното: ако y = f (u) е диференцируем при u, yu = g (x) е диференцируем при x, тогава композитната функция f (g (x)) е диференцируема при x и е вярно, че '= f '(g (x)) g' (x).

Тоест, производното на сложна функция е продукт на производната на външната функция (външно производно) и производното на вътрешната функция (вътрешна производна).

пример

Ако f (x) = (x ⁴ -2x) ³, тогава

f '(x) = 3 (x ⁴ -2x) ² (x ⁴ -2x)' = 3 (x ⁴ -2x) ² (4x ³ -2).

Има също така резултати за изчисляване на производната на обратната функция, както и обобщаване на производни от по-висок ред. Приложенията са обширни. Сред тях се открояват нейната полезност при проблеми с оптимизацията и максимални и минимални функции.

Препратки

1. Alarcon, S., González, M., & Quintana, H. (2008). Диференциално смятане. ITM.
2. Cabrera, VM (1997). Изчисление 4000. Редакционен прогрес.
3. Кастаньо, HF (2005). Математика преди изчислението. Университет в Меделин.
4. Едуардо, НС (2003). Въведение в смятане. Прагове издания.
5. Fuentes, A. (2016). ОСНОВНА МАТА. Въведение в смятане. Lulu.com.
6. Purcell, EJ, Rigdon, SE, & Varberg, DE (2007). Изчисление. Pearson Education.
7. Saenz, J. (2005). Диференциално смятане (Второ изд.). Баркисимето: Хипотенуза.
8. Thomas, GB, & Weir, MD (2006). Изчисление: няколко променливи. Pearson Education.