ИМПЛИЦИТНИ ПРОИЗВОДНИ: КАК СЕ РЕШАВАТ И РЕШАВАТ УПРАЖНЕНИЯТА - МАТЕМАТИКА - 2025

На скрити производни са инструменти, използвани в различаващ техника прилага функции. Те се прилагат, когато не е възможно, при редовни методи, да се реши за извлечената зависима променлива. Това изчистване се извършва като функция на независимата променлива.

Например, в израза 3xy ³ - 2y + xy ² = xy, изразът, който определя "y" като функция на "x", не може да бъде получен. Така че чрез извличане на диференциалното изражение dy / dx може да се получи.

Как се решават неявни производни?

За да разрешим едно имплицитно производно, започваме с неявен израз. Например: 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0. Това вече е решено правилно, но това не е необходимо условие за получаване на производната на y по отношение на x. След това всеки от елементите е изведен при спазване на верижното правило за смесени функции:

3xy ³ се състои от 2 променливи, следователно d (3xy по ³) ще се третира като производно на продукт от функции.

d (3xy ³) / dx = 3y ³ + 3y ^2. (3x) y '= 3y ³ + 9xy ² y'

Когато елементът y 'е известен като „y prime” и представлява dy / dx

-2y Той се получава според закона KU = K.U '

d (-2y) = -2 y '

xy ² предполага друг диференциал, съставен от продукт на функции

d (xy ²) = y ² + 2xy y '

-xy се третира хомоложно

d (-xy) = -y - x y '

Те се заместват в равенство, знаейки, че производната на нула е нула.

3Y ³ + 9xy ² Y '- 2 Y' + у ² + 2xy Y '- Y - х Y' = 0

Елементите, които имат термина y 'са групирани от едната страна на равенството

3y ³ + y ² - y = -9xy ² y '+ 2 y' + x y '

Общият фактор y 'се извлича от дясната страна на равенството

3y ³ + y ² - y = y '(-9xy ² + x + 2)

Накрая се изчиства терминът, умножаващ y '. По този начин се получава израза, съответстващ на имплицитното производно на y по отношение на х.

y '= dy / dx = (3y ³ + y ² - y) / (- 9xy ² + x + 2)

Верижно правило

При неявното производно винаги се спазва верижното правило. Всички диференциални изрази ще бъдат дадени като функция на независимата променлива X. Следователно всяка променлива θ, различна от X, трябва да включва термина dθ / dx, след като е получена.

Този термин ще се появи само в първа степен или с показател равен на 1. Това качество го прави напълно ясно при традиционните факторингови методи. По този начин е възможно да се получи изразът, който определя диференциала dθ / dx.

Правилото на веригата показва прогресивния характер на процеса на диференциация или производно. Където за всяка съставна функция f, имаме, че диференциалният израз на f ще бъде

Оперативен ред

Във всяка приложена формула или закон на производно трябва да се вземе предвид редът на променливите. Критериите, свързани с независимата променлива, се спазват, без да променят нейната корелация с зависимата променлива.

Връзката на зависимата променлива към момента на извличане се взема директно; С изключение на това, че това ще се счита за втора функция, поради което се прилага критерият за верижно правило за смесени функции.

Това може да се развие в изрази с повече от 2 променливи. При същите принципи ще бъдат обозначени всички диференциали, отнасящи се до зависимите променливи.

Графично се обработва същия критерий, който определя деривата. Докато производната е наклонът на допирателната линия към кривата в равнината, останалите диференциали, принадлежащи към зависимите променливи (dy / dx, dz / dx), представляват равнини, допиращи се към векторните тела, описани от множеството променливи функции.

косвен

Функцията се казва, че имплицитно дефинирани ако експресия у = F (X) могат да бъдат представени като променлива функция множествена F (х, у) = 0, докато F се определя в R ² равнина.

3xy ³ - 2y + xy ² = xy може да се запише под формата 3xy ³ - 2y + xy ² - xy = 0

С оглед на невъзможността функцията y = f (x) да бъде изрична.

история

Диференциалното смятане започва да се назовава от различни математически изследователи около XVII век. Първият път, когато беше споменато, беше чрез приноса на Нютон и Лайбниц. И двамата третираха диференциалното смятане от различни гледни точки, но сближаващи се в своите резултати.

Докато Нютон се фокусира върху диференциацията като скорост или скорост на промяна, подходът на Лейбниц беше по-геометричен. Може да се каже, че Нютон атакува предположенията, оставени от Аполоний от Перге и Лайбниц, геометричните идеи на Фермат.

Имплицитното производно се появява веднага при разглеждане на диференциалните и интегралните уравнения. Те разшириха геометричната концепция на Лейбниц до R ³ и дори до многомерни пространства.

Приложения

Неявните производни се използват в различни ситуации. Те са често срещани при проблеми с валутния курс между свързани променливи, където, в зависимост от смисъла на изследването, променливите ще се считат за зависими или независими.

Те също имат интересни геометрични приложения, като например в отражението или проблемите със сенките, върху фигури, чиято форма може да бъде математически моделирана.

Те често се използват в областта на икономиката и инженерството, както и в различни проучвания на природни явления и експериментални сгради.

Решени упражнения

Упражнение 1

Определете имплицитния израз, който определя dy / dx

Всеки елемент от израза е диференциран

Въвеждане на правило за веригата във всеки компетентен случай

Групиране от едната страна на равенство елементите, които имат dy / dx

Той се взема предвид като се използва общият фактор

Той се решава с получаването на търсения израз

Упражнение 2

Определете имплицитния израз, който определя dy / dx

Изразяване на производни, които трябва да бъдат извършени

Извеждането имплицитно според правилото на веригата

Факторинг на общи елементи

Групиране на термина dy / dx от едната страна на равенството

Общ фактор за диференциалния елемент

Изолираме и получаваме търсения израз

Препратки

1. Изчисляване на единична променлива. Рон Ларсън, Брус Х. Едуардс. Cengage Learning, 10 ноември 2008
2. Теорема за имплицитната функция: История, теория и приложения. Стивън Г. Кранц, Харолд Р. Паркс. Springer Science & Business Media, 9 ноември. 2012
3. Многопроменен анализ. Сатиш Ширали, Харкришан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 декември. 2010
4. Динамика на системата: Моделиране, симулация и управление на мехатронни системи. Дийн К. Карноп, Доналд Л. Марголис, Роналд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 март 2012
5. Изчисление: Математика и моделиране. Уилям Боулди, Джоузеф Р. Фидлер, Франк Р. Джордано, Ед Лоди, Рик Витрай. Адисън Уесли Лонгман, 1 януари 1999