В добавка разлагането на положително число се състои от това експресира като сума от два или повече положителни числа. Така имаме, че числото 5 може да се изрази като 5 = 1 + 4, 5 = 2 + 3 или 5 = 1 + 2 + 2. Всеки от тези начини за писане на числото 5 е това, което ще наречем адитивно разлагане.

Ако обърнем внимание, можем да видим, че изразите 5 = 2 + 3 и 5 = 3 + 2 представляват един и същи състав; и двамата имат еднакви номера. Въпреки това, само за удобство, всяко от допълненията обикновено се пише по критерия от най-ниско до най-високо.

Адитивно разлагане

Като друг пример можем да вземем числото 27, което можем да изразим като:

27 = 7 + 10 + 10

27 = 9 + 9 + 9

27 = 3 + 6 + 9 + 9

27 = 9 + 18

Адитивното разлагане е много полезен инструмент, който ни позволява да затвърдим знанията си за системите за номериране.

Канонично адитивно разлагане

Когато имаме числа с повече от две цифри, особен начин да ги разложим е в кратните 10, 100, 1000, 10 000 и т.н., които го съставят. Този начин на писане на произволно число се нарича канонично адитивно разлагане. Например, числото 1456 може да бъде разложено, както следва:

1456 = 1000 + 400+ 50 + 6

Ако имаме числото 20 846 295, каноничното му добавъчно разлагане ще бъде:

20 846 295 = 20 000 000 + 800 000 + 40 000 + 6000 + 200 + 90 +5.

Благодарение на това разлагане можем да видим, че стойността на дадена цифра се дава от позицията, която заема. Нека вземем числата 24 и 42 като пример:

24 = 20 + 4

42 = 40 +2

Тук можем да видим, че в 24 2 има стойност 20 единици, а 4 - стойност на 4 единици; от друга страна, в 42 4 е със стойност 40 единици, а 2 от две единици. Така, въпреки че и двете числа използват едни и същи цифри, стойностите им са напълно различни поради позицията, която заемат.

Приложения

Едно от приложенията, които можем да дадем за адитивно разлагане, е в някои видове доказателства, в които е много полезно да се види положително цяло число като сума от други.

Примерна теорема

Нека вземем за пример следната теорема със съответните нейни доказателства.

- Нека Z е четирицифрено цяло число, тогава Z е делимо на 5, ако съответстващата му цифра на единиците е нула или пет.

демонстрация

Нека си спомним какво е делимост. Ако имаме цели „a“ и „b“, казваме, че „a“ дели „b“, ако съществува цяло число „c“, такова, че b = a * c.

Едно от свойствата на делимостта ни казва, че ако "a" и "b" са делими на "c", тогава изваждането "ab" също е делимо.

Нека Z е 4-цифрено цяло число; следователно, можем да запишем Z като Z = ABCD.

Използвайки канонично добавъчно разлагане, имаме:

Z = A * 1000 + B * 100 + C * 10 + D

Ясно е, че A * 1000 + B * 100 + C * 10 е делимо на 5. За това имаме, че Z е делимо на 5, ако Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) е делимо на 5.

Но Z - (A * 1000 + B * 100 + C * 10) = D и D е едноцифрено число, така че единственият начин той да се дели на 5 е да бъде 0 или 5.

Следователно Z е делимо на 5, ако D = 0 или D = 5.

Обърнете внимание, че ако Z има n цифри, доказателството е абсолютно същото, то само се променя, че сега бихме написали Z = A ₁ A ₂ … A _n и целта ще бъде да се докаже, че A _n е нула или пет.

Дяловете

Ние казваме, че дял на положително цяло е един от начините, по които можем да запишем число като сбор от положителни числа.

Разликата между разлагане на добавка и дял е, че докато първият търси, че поне той може да бъде разложен на две добавки или повече, дялът няма това ограничение.

По този начин имаме следното:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 2 + 2

Горните са дялове на 5.

Тоест, имаме, че всяко адитивно разлагане е дял, но не всеки дял е непременно адитивно разлагане.

В теорията на числата основната теорема за аритметика гарантира, че всяко цяло число може да бъде записано еднозначно като произведение на прайсове.

При изучаване на дялове целта е да се определи по колко начини положителното цяло число може да бъде записано като сбор от други цели числа. Следователно ние дефинираме функцията на дяла, както е представена по-долу.

дефиниция

Функцията на разделяне p (n) се дефинира като броя на начините, по които положителното цяло число n може да бъде записано като сума от положителни цели числа.

Връщайки се към примера на 5, имаме това:

5 = 5

5 = 1 + 4

5 = 2 + 3

5 = 1 + 1 + 3

5 = 1 + 2 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 2

5 = 1 + 1 + 1 + 1 + 1

Така p (5) = 7.

Graphics

Както дяловете, така и адитивните разложения на число n могат да бъдат представени геометрично. Да предположим, че имаме адитивно разлагане на n. При това разлагане добавките могат да бъдат подредени така, че членовете на сумата да бъдат подредени от най-малко до най-голямо. Така че, добре:

n = a ₁ + a ₂ + a ₃ +… + a _r с

a ₁ ≤ a ₂ ≤ a ₃ ≤… ≤ a _r.

Можем да графираме това разлагане по следния начин: в първи ред маркираме _1- точки, след това в следващия маркираме _2- точки и така нататък, докато достигнем _r.

Вземете например числото 23 и последващото му разлагане:

23 = 5 + 4 + 7 + 3 + 1 +3

Ние нареждаме това разлагане и имаме:

23 = 1 + 3 + 3 + 4+ 5 + 7

Съответната му графика ще бъде: