НЕРАВЕНСТВО НА ТРИЪГЪЛНИК: ДОКАЗАТЕЛСТВО, ПРИМЕРИ, РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Нарича се неравномерно триъгълно свойство, което отговаря на две реални числа, състоящи се от абсолютната стойност на тяхната сума, винаги е по-малка или равна на сумата от техните абсолютни стойности. Това свойство е известно още като неравенство на Минковски или триъгълно неравенство.

Това свойство на числата се нарича триъгълно неравенство, тъй като в триъгълници се случва, че дължината на едната страна винаги е по-малка или равна на сумата от другите две, въпреки че това неравенство не винаги се прилага в областта на триъгълниците.

Фигура 1. Абсолютната стойност на сумата от две числа винаги е по-малка или равна на сумата от техните абсолютни стойности. (Подготвил Р. Перес)

Има няколко доказателства за триъгълното неравенство в реални числа, но в този случай ще изберем едно въз основа на свойствата на абсолютната стойност и двучленния квадрат.

Теорема: За всяка двойка числа a и b, принадлежащи на реалните числа, имаме:

- a + b - ≤ - a - + - b -

демонстрация

Започваме като разглеждаме първия член на неравенството, който ще бъде квадрат:

- a + b - ^ 2 = (a + b) ^ 2 = a ^ 2 + 2 ab + b ^ 2 (уравнение 1)

В предишната стъпка използвахме свойството, че всяко число на квадрат е равно на абсолютната стойност на споменатото квадратно число, тоест: -x- ^ 2 = x ^ 2. Използва се и квадратното биномиално разширение.

Всяко число x е по-малко или равно на неговата абсолютна стойност. Ако числото е положително, то е равно, но ако числото е отрицателно, винаги ще бъде по-малко от положително число. В този случай неговата собствена абсолютна стойност, тоест може да се каже, че x ≤ - x -.

Продуктът (ab) е число, следователно се прилага, че (ab) ≤ - ab -. Когато това свойство се прилага към (уравнение 1), имаме:

- a + b - ^ 2 = a ^ 2 + 2 (ab) + b ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - ab - + b ^ 2 (уравнение 2)

Като се има предвид, че - ab - = - a - b - la (уравнение 2) може да се запише, както следва:

- a + b - ^ 2 ≤ a ^ 2 + 2 - a - b - + b ^ 2 (уравнение 3)

Но тъй като казахме преди, че квадратът на число е равен на абсолютната стойност на числото в квадрат, тогава уравнение 3 може да бъде преписано, както следва:

- a + b - ^ 2 ≤ -a- ^ 2 + 2 -a- -b- + -b- ^ 2 (уравнение 4)

Във втория член на неравенството се разпознава забележителен продукт, който при прилагане води до:

- a + b - ^ 2 ≤ (-a- + -b -) ^ 2 (уравнение 5)

В предишния израз трябва да се отбележи, че стойностите, които трябва да бъдат квадратни и при двата члена на неравенството, са положителни, следователно трябва също така да се уверите, че:

- a + b - ≤ (-a- + -b-) (ур. 6)

Предишният израз е точно това, което сте искали да демонстрирате.

Примери

След това ще проверим триъгълното неравенство с няколко примера.

Пример 1

Взимаме стойността a = 2 и стойността b = 5, тоест двете положителни числа и проверяваме дали неравенството е удовлетворено или не.

- 2 + 5 - ≤ -2- + -5-

- 7 - ≤ -2- + -5-

7 ≤ 2+ 5

Равенството е проверено, следователно теоремата за триъгълното неравенство е изпълнена.

Пример 2

Избрани са следните стойности a = 2 и b = -5, тоест положително число, а другото отрицателно, проверяваме дали неравенството е изпълнено или не.

- 2 - 5 - ≤ -2- + --5-

- -3 - ≤ -2- + --5-

3 ≤ 2 + 5

Неравенството е удовлетворено, следователно теоремата за триъгълното неравенство е проверена.

Пример 3

Взимаме стойността a = -2 и стойността b = 5, тоест отрицателно число и другото положително, проверяваме дали неравенството е удовлетворено или не.

- -2 + 5 - ≤ --2- + -5-

- 3 - ≤ --2- + -5-

3 ≤ 2 + 5

Неравенството е проверено, следователно теоремата е изпълнена.

Пример 4

Следните стойности a = -2 и b = -5 са избрани, тоест и двете отрицателни числа и проверяваме дали неравенството е удовлетворено или не.

- -2 - 5 - ≤ --2- + --5-

- -7 - ≤ --2- + --5-

7 ≤ 2+ 5

Равенството е проверено, следователно теоремата за неравенството на Минковски е изпълнена.

Пример 5

Взимаме стойността a = 0 и стойността b = 5, тоест число нула и другото положително, след това проверяваме дали неравенството е удовлетворено или не.

- 0 + 5 - ≤ -0- + -5-

- 5 - ≤ -0- + -5-

5 ≤ 0+ 5

Равенството е изпълнено, следователно теоремата за неравенството на триъгълника е проверена.

Пример 6

Взимаме стойността a = 0 и стойността b = -7, тоест число нула, а другото положително, след това проверяваме дали неравенството е удовлетворено или не.

- 0 - 7 - ≤ -0- + --7-

- -7 - ≤ -0- + --7-

7 ≤ 0+ 7

Равенството е проверено, следователно теоремата за триъгълното неравенство е изпълнена.

Решени упражнения

В следващите упражнения представете геометрично неравенството на триъгълника или неравенството на Минковски за числата a и b.

Числото a ще бъде представено като сегмент на оста X, неговото начало O съвпада с нулата на оста X, а другият край на сегмента (в точка P) ще бъде в положителна посока (вдясно) на оста X, ако a > 0, но ако е <0, то ще бъде към отрицателната посока на оста X, толкова единици, колкото абсолютната му стойност показва.

По същия начин числото b ще бъде представено като сегмент, чийто произход е в точка P. Другата крайност, тоест, точка Q ще бъде вдясно от P, ако b е положителна (b> 0) и точка Q ще бъде -b - единици вляво от P, ако b <0.

Упражнение 1

Графиката на неравенството на триъгълника за a = 5 и b = 3 - a + b - ≤ - a - + - b -, където c = a + b.

Упражнение 2

Графиката на триъгълното неравенство за a = 5 и b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, където c = a + b.

Упражнение 3

Графично покажете неравенството на триъгълника за a = -5 и b = 3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, където c = a + b.

Упражнение 4

Графично конструирайте триъгълното неравенство за a = -5 и b = -3.

- a + b - ≤ - a - + - b -, където c = a + b.

Препратки

1. Е. Уайтсит. (1980). Булева алгебра и нейните приложения. Редакционна компания Continental CA
2. Mícheál O 'Searcoid. (2003) Елементи на абстрактния анализ., Катедра по математика. Университетски колеж Дъблин, Beldfield, Дъблинд.
3. J. Van Wyk. (2006) Математика и инженерство в компютърните науки. Институт за компютърни науки и технологии. Национално бюро за стандарти. Вашингтон, окръг Колумбия 20234
4. Ерик Леман. Математика за компютърни науки. Google Inc.
5. F Thomson Leighton (1980). Смятане. Катедра по математика и компютърна наука и AI лаборатория, Масачузетския технологичен институт.
6. Академия Хан. Теорема за неравенството на триъгълника. Възстановено от: khanacademy.org
7. Wikipedia. Триъгълно неравенство. Възстановени от: es. wikipedia.com