РАЗЛИКА НА КУБЧЕТАТА: ФОРМУЛИ, УРАВНЕНИЯ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най разликата на кубчета е биномно алгебрични израз на формата на ³ - б ³, където условията А и В могат да бъдат реални числа или алгебрични изрази от различни видове. Пример за разлика на кубчетата е: 8 - x ³, тъй като 8 може да се запише като 2 ³.

Геометрично можем да мислим за голямо кубче, със страна a, от което се изважда малкият куб със страна b, както е показано на фигура 1:

Фигура 1. Разлика на кубчета. Източник: Ф. Сапата.

Обемът на получената цифра е точно разлика в кубчета:

V = a ³ - b ³

За да се намери алтернативен израз, се забелязва, че тази цифра може да се разложи на три призми, както е показано по-долу:

Фигура 2. Разликата на кубчетата (вляво от равенството) е равна на сумата от частичните обеми (вдясно). Източник: Ф. Сапата.

Призма има обем, даден от произведението на трите й измерения: ширина х височина х дълбочина. По този начин полученият обем е:

V = a ³ - b ³ = a ².b + b ³ + ab ²

Фактор b е общ отдясно. Освен това, на фигурата, показана по-горе, е особено вярно, че:

b = (a / 2) ⇒ a = b + b

Следователно може да се каже, че: b = a - b. По този начин:

Този начин на изразяване на разликата в кубчетата ще се окаже много полезен в много приложения и би се получил по същия начин, дори ако страната на липсващия куб в ъгъла беше различна от b = a / 2.

Обърнете внимание, че вторите скоби много наподобяват забележимия произход на квадрата на сумата, но напречният термин не се умножава по 2. Четецът може да разшири дясната страна, за да провери дали наистина е получен ³ - b ³.

Примери

Има няколко разлики в кубчетата:

1 - m ⁶

a ⁶ b ³ - 8z ¹² и ⁶

(1/125).x ⁶ - 27.y ⁹

Нека анализираме всеки един от тях. В първия пример 1 може да бъде записан като 1 = 1 ³ и терминът m ⁶ става: (m ²) ³. И двата термина са перфектни кубчета, следователно разликата им е:

1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ³

Във втория пример условията са пренаписани:

a ⁶ b ³ = (a ² b) ³

8z ¹² y ⁶ = 2 ³ (z ⁴) ³ (y ²) ³ = (2z ⁴ y ²) ³

Разликата на тези кубчета е: (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³.

И накрая, фракцията (1/125) е (1/5 ³), x ⁶ = (x ²) ³, 27 = 3 ^3, и y ⁹ = (y ³) ³. Замествайки всичко това в оригиналния израз, получавате:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ = ³ - (3y ³) ³

Факторинг на разликата на кубчета

Факторирането на разликата на кубиците опростява много алгебрични операции. За да направите това, просто използвайте формулата, изведена по-горе:

Фигура 3. Факторизация на разликата на кубчетата и израз на забележителен коефициент. Източник: Ф. Сапата.

Сега процедурата за прилагане на тази формула се състои от три стъпки:

- На първо място се получава кубният корен на всеки от термините на разликата.

- Тогава се изграждат биномиалният и триномиалният, които се появяват от дясната страна на формулата.

- И накрая, биномиалният и триномиалният се заменят, за да се получи окончателното факторизиране.

Нека илюстрираме използването на тези стъпки с всеки от примерите за разлика в куба, предложени по-горе и по този начин да получим факторния им еквивалент.

Пример 1

Фактор на израза 1 - m ⁶ следвайки описаните стъпки. Започваме с пренаписването на израза като 1 - m ⁶ = 1 ³ - (m ²) ^{3, за} да извлечем съответните корени на куба на всеки термин:

След това се изграждат биномиалният и триномиалният:

a = 1

b = m ²

Така:

a - b = 1 - m ²

(a ² + ab + b ²) = 1 ² + 1.m ² + (m ²) ² = 1 + m ² + m ⁴

И накрая, той се замества във формулата a ³ - b ³ = (ab) (a ² + ab + b ²):

1 - m ⁶ = (1 - m ²) (1 + m ² + m ⁴)

Пример 2

предупреждавам:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b) ³ - (2z ⁴ y ²) ³

Тъй като това са перфектни кубчета, корените на куба са незабавни: a ² b и 2z ⁴ и ², оттук следва, че:

- Биномиални: a ² b - 2z ⁴ и ²

- Trinomial: (a ² b) ² + a ² b. 2z ⁴ y ² + (a ² b + 2z ⁴ y ²) ²

И сега се конструира желаната факторизация:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

= (a ² b - 2z ⁴ y ²).

По принцип факторингът е готов, но често е необходимо да се опрости всеки термин. Тогава се развива забележителният продукт - квадрат на сума - който се появява в края и след това се добавят подобни термини. Помнете, че квадратът на една сума е:

Забележителният продукт отдясно е разработен така:

(a ² b + 2z ⁴ и ²) ² = a ⁴ b ² + 4a ² b.z ⁴ и ² + 4z ⁸ и ⁴

Замяна на разширението, получено при факторизацията на разликата в кубчета:

a ⁶ b ³ -8z ¹² y ⁶ = (a ² b - 2z ⁴ y ²). =

Накрая, групирайки като термини и разпределяйки числовите коефициенти, които са равномерни, получаваме:

(a ² b - 2z ⁴ y ²). = 2 (a ² b - 2z ⁴ y ²).

Пример 3

Факторингът (1/125) x ⁶ - 27y ⁹ е много по-лесен от предишния случай. Първо се идентифицират еквивалентите на a и b:

a = (1/5) x ²

b = 3y ³

Тогава те са директно заместени във формулата:

(1/125).x ⁶ - 27y ⁹ =.

Упражнението е разрешено

Разликата в кубчетата има, както казахме, различни приложения в Алгебра. Нека видим някои:

Упражнение 1

Решете следните уравнения:

а) x ⁵ - 125 x ² = 0

б) 64 - 729 х ³ = 0

Решение за

Първо уравнението се взема предвид по този начин:

x ² (x ³ - 125) = 0

Тъй като 125 е перфектен куб, скобите се пишат като разлика в кубчета:

х ². (x ³ - 5 ³) = 0

Първото решение е x = 0, но намираме повече, ако направим x ³ - 5 ³ = 0, тогава:

x ³ = 5 ³ → x = 5

Решение b

Лявата страна на уравнението се пренаписва като 64 - 729 x ³ = 4 ³ - (9x) ³. По този начин:

4 ³ - (9x) ³ = 0

Тъй като показателят е същият:

9x = 4 → x = 9/4

Упражнение 2

Фактор на израза:

(x + y) ³ - (x - y) ³

Решение

Този израз е разлика в кубчета, ако във формулата за факторинг отбележим, че:

a = x + y

b = x- y

Тогава първо се изгражда биномът:

a - b = x + y - (x- y) = 2y

И сега тричленът:

a ² + ab + b ² = (x + y) ² + (x + y) (xy) + (xy) ²

Разработени са забележителни продукти:

След това трябва да замените и намалите като термини:

a ² + ab + b ² = x ² + 2xy + y ² + x ² - y ² + x ² - 2xy + y ² = 3x ² + y ²

Факторинг резултати в:

(x + y) ³ - (x - y) ³ = 2y. (3x ² + y ²)

Препратки

1. Балдор, А. 1974. Алгебра. Редакционна културна Venezolana SA
2. Фондация CK-12. Сума и разлика на кубчета. Възстановено от: ck12.org.
3. Академия Хан. Факторинг на разликите в кубчета. Възстановено от: es.khanacademy.org.
4. Math is Fun Advanced. Разлика от две кубчета. Възстановена от: mathsisfun.com
5. Пумас. Факторинг на разликата на кубчета. Възстановено от: dcb.fi-c.unam.mx.