СИНТЕТИЧНО РАЗДЕЛЕНИЕ: МЕТОД И РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В синтетичен деление е прост начин на разделяне на полином Р (х) всяка една от форма г (х) = х - гр. Например полиномът P (x) = (x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1) може да бъде представен като умножение на двата най-прости полинома (x + 1) и (x ⁴ + 2x ³⁾).

Това е много полезен инструмент, тъй като, освен че ни позволява да делим полиноми, той също така ни позволява да оценим полином P (x) на произволно число c, което от своя страна ни казва точно дали посоченото число е нула на полинома или не.

Благодарение на алгоритъма на разделянето знаем, че ако имаме два неконстантни полинома P (x) и d (x), има уникални полиноми q (x) и r (x), така че е вярно, че P (x) = q (x) d (x) + r (x), където r (x) е нула или по-малко от q (x). Тези полиноми са известни като коефициент и съответно остатък или остатък.

В случаите, когато полиномът d (x) е с форма x-c, синтетичното деление ни дава кратък начин да открием кои са q (x) и r (x).

Метод на синтетично деление

Нека P (x) = a _n x ⁿ + a _n-1 x ^n-1 +… + a ₁ x + a ₀ полиномът, който искаме да разделим, и d (x) = xc делителят. За да се разделим по метода на синтетичното деление, действаме по следния начин:

1- Пишем коефициентите на P (x) в първия ред. Ако някоя мощност от X не се появи, ние поставяме нула като нейния коефициент.

2- Във втория ред, вляво от a _n, поставяме c, и изчертаваме разделителни линии, както е показано на следната фигура:

3- Намаляваме водещия коефициент до третия ред.

В този израз b _n-1 = a _n

4- Умножаваме c с водещия коефициент b _n-1 и записваме резултата във втория ред, но една колона вдясно.

5- Добавяме колоната, където пишем предишния резултат и поставяме резултата под тази сума; тоест в същата колона, трети ред.

Когато добавяме, в резултат имаме _n-1 + c * b _n-1, което за удобство ще наречем b _n-2

6- Умножаваме c с предишния резултат и записваме резултата отдясно на втория ред.

7- Повтаряме стъпки 5 и 6, докато достигнем коефициента при ₀.

8- Пишем отговора; тоест коефициентът и останалата част. Тъй като ние делим полином на степен n на полином на степен 1, имаме, че коефициентът би бил от степен n-1.

Коефициентите на коефициента на полином ще бъдат числата в третия ред, с изключение на последния, който ще бъде остатъчният полином или остатъкът от делението.

Решени упражнения

- Пример 1

Извършете следното разделение по метода на синтетичното деление:

(x ⁵ + 3x ⁴ -7x ³ + 2x ² -8x + 1): (x + 1).

Решение

Първо пишем коефициентите на дивидента, както следва:

След това пишем c от лявата страна, във втория ред, заедно с разделителните линии. В този пример c = -1.

Намаляваме водещия коефициент (в този случай b _n-1 = 1) и го умножаваме по -1:

Ние пишем резултата отдясно на втория ред, както е показано по-долу:

Добавяме числата във втората колона:

Умножаваме 2 по -1 и записваме резултата в третата колона, втори ред:

Добавяме в третата колона:

Продължаваме по същия начин, докато стигнем до последната колона:

Така имаме, че последното получено число е остатъкът от делението, а останалите числа са коефициентите на коефициента на полинома. Това е написано по следния начин:

Ако искаме да проверим дали резултатът е правилен, достатъчно е да проверим дали следното уравнение е вярно:

P (x) = q (x) * d (x) + r (x)

Така че можем да проверим дали полученият резултат е правилен.

- Пример 2

Извършете следното разделение на полиноми по метода на синтетичното деление

(7x ³ -x + 2): (x + 2)

Решение

В този случай имаме, че терминът x ² не се появява, така че ще напишем 0 като негов коефициент. По този начин полиномът ще бъде 7x ³ + 0x ² -x + 2.

Пишем техните коефициенти подред, това е:

Пишем стойността на C = -2 от лявата страна на втория ред и изчертаваме линиите за разделяне.

Намаляваме водещия коефициент b _n-1 = 7 и го умножаваме по -2, записвайки резултата му във втория ред вдясно.

Добавяме и продължаваме както е обяснено по-горе, докато достигнем последния срок:

В този случай остатъкът е r (x) = - 52 и полученият коефициент е q (x) = 7x ² -14x + 27.

- Пример 3

Друг начин за използване на синтетичното деление е следният: да предположим, че имаме полином P (x) на степен n и искаме да знаем каква е стойността, като я оценяваме при x = c.

Чрез алгоритъма на разделянето можем да запишем полинома P (x) по следния начин:

В този израз q (x) и r (x) са съответно коефициентът и остатъкът. Сега, ако d (x) = x- c, при оценяване на c в полинома получаваме следното:

Следователно остава само да намерим ar (x) и можем да направим това благодарение на синтетичното разделение.

Например, имаме полином P (x) = x ⁷ -9x ⁶ + 19x ⁵ + 12x ⁴ -3x ³ + 19x ² -37x-37 и искаме да знаем каква е неговата стойност, като я оценяваме при x = 5. За целта изпълняваме разделяне между P (x) и d (x) = x -5 по метода на синтетичното деление:

След като операциите са извършени, ние знаем, че можем да напишем P (x) по следния начин:

P (x) = (x ⁶ -4x ⁵ –x ⁴ + 7x ³ + 32x ² + 179x + 858) * (x-5) + 4253

Следователно, когато го оценяваме, трябва да:

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (5-5) + 4253

P (5) = (5-4 (5) -5 + 7 (5) +32 (5) +179 (5) +858) * (0) + 4253

P (5) = 0 + 4253 = 4253

Както виждаме, възможно е да се използва синтетично деление, за да се намери стойността на полином, като се изчисли на c, а не просто да се замени c за x.

Ако се опитахме да оценим P (5) по традиционния начин, щяхме да бъдем принудени да извършим някои изчисления, които често стават досадни.

- Пример 4

Алгоритъмът на делене на полиноми важи и за полиноми със сложни коефициенти и като следствие имаме, че методът на синтетично деление също работи за такива полиноми. Ще видим пример по-долу.

Ще използваме метода на синтетичното деление, за да покажем, че z = 1+ 2i е нула на полинома P (x) = x ³ + (1 + i) x ² - (1 + 2i) x + (15 + 5i); тоест остатъкът от делението P (x) на d (x) = x - z е равен на нула.

Продължаваме както преди: в първия ред пишем коефициентите на P (x), след това във втория пишем z и начертаваме линиите на разделяне.

Ние извършваме разделението както преди; това е:

Можем да наблюдаваме, че остатъкът е нула; следователно заключаваме, че z = 1+ 2i е нула на P (x).

Препратки

1. Балдор Аурелио. алгебра Grupo редакция Patria.
2. Демана, Чака, Фоли и Кенеди. Предкалкул: графично, числово, алгебраично 7-то издание на образованието на Пирсън.
3. Flemming W & Varserg D. Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Зала Prentice
4. Майкъл Съливан. Precalculus 4th Ed. Pearson Education.
5. Червен. Армандо О. Алгебра 1 6 изд. Атенеумът.