ПОЛИНОМНИ УРАВНЕНИЯ (С РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ) - МАТЕМАТИКА - 2024

На полином уравнения са изявление, че повдига равенство на два израза или членове, в които поне един от термините, които правят до всяка страна на половете са полиноми Р (х). Тези уравнения се назовават според степента на техните променливи.

По принцип уравнението е твърдение, което установява равенството на два израза, където в поне един от тях има неизвестни величини, които се наричат ​​променливи или неизвестни. Въпреки че има много видове уравнения, те обикновено се класифицират в два типа: алгебрични и трансцендентни.

Полиномните уравнения съдържат само алгебрични изрази, които могат да имат едно или повече неизвестни, участващи в уравнението. Според показателя (степен), който имат, те могат да бъдат класифицирани като: първа степен (линейна), втора степен (квадратна), трета степен (кубична), четвърта степен (квартова), степен по-голяма или равна на пет и нерационална.

характеристики

Полиномните уравнения са изрази, които са образувани от равенство между два полинома; тоест чрез крайните суми от умножения между неизвестни стойности (променливи) и фиксирани числа (коефициенти), където променливите могат да имат експоненти и тяхната стойност може да бъде положително цяло число, включително нула.

Експонентите определят степента или вида на уравнението. Терминът в израза с най-висок показател ще представлява абсолютната степен на полинома.

Полиномните уравнения са известни също като алгебраични уравнения, техните коефициенти могат да бъдат реални или сложни числа, а променливите са неизвестни числа, представени с буква, като: "x".

Ако заместваме стойност за променливата "x" в P (x) резултатът е равен на нула (0), тогава се казва, че тази стойност отговаря на уравнението (тя е решение) и обикновено се нарича корен на полинома.

При разработване на полиномно уравнение искате да намерите всички корени или решения.

Видове

Съществуват няколко типа полиномични уравнения, които се диференцират според броя на променливите, а също и според степента на тяхната експоненция.

По този начин уравненията на полинома - където първият му термин е полином, който има едно единствено неизвестно, като се има предвид, че степента му може да бъде всяко естествено число (n), а вторият член е нула, може да се изрази по следния начин:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Където:

- a _n, a _n-1 и ₀ са реални коефициенти (числа).

- a _n е различно от нулата.

- Показателят n е положително цяло число, което представлява степента на уравнението.

- x е променлива или неизвестна за търсене.

Абсолютната или по-голяма степен на полиномно уравнение е показател с най-високата стойност сред всички онези, които образуват полинома; по този начин уравненията се класифицират като:

Първи клас

Полиномните уравнения от първа степен, известни още като линейни уравнения, са тези, при които степента (най-голямата експоненция) е равна на 1, полиномът е във формата P (x) = 0; y се състои от линеен термин и независим. Пише се както следва:

ax + b = 0.

Където:

- a и b са реални числа и a ≠ 0.

- ax е линейният термин.

- b е независимият термин.

Например уравнението 13x - 18 = 4x.

За да решите линейни уравнения, всички термини, които съдържат неизвестното х, трябва да бъдат прехвърлени на едната страна на равенството, а тези, които не разполагат, се преместват на другата страна, за да се реши и да се получи решение:

13x - 18 = 4x

13x = 4x + 18

13x - 4x = 18

9x = 18

x = 18 ÷ 9

x = 2.

Така даденото уравнение има само едно решение или корен, което е х = 2.

Втори клас

Полиномните уравнения от втора степен, известни още като квадратични уравнения, са тези, при които степента (най-големият показател) е равна на 2, полиномът е с формата P (x) = 0 и е съставен от квадратичен термин, една линейна и една независима. Тя се изразява по следния начин:

ос ² + bx + c = 0.

Където:

- a, b и c са реални числа и a ≠ 0.

- ос ² е квадратичният термин, а "а" е коефициентът на квадратичния термин.

- bx е линейният термин, а "b" е коефициентът на линейния член.

- c е независимият термин.

разтворител

Обикновено решението на този тип уравнения се дава чрез изчистване на x от уравнението и е както следва, което се нарича разделителна:

Там (b ² - 4ac) се нарича дискриминант на уравнението и този израз определя броя на решенията, които уравнението може да има:

- Ако (b ² - 4ac) = 0, уравнението ще има единично решение, което е двойно; тоест ще има две равни решения.

- Ако (b ² - 4ac)> 0, уравнението ще има две различни реални решения.

- Ако (b ² - 4ac) <0, уравнението няма решение (ще има две различни сложни решения).

Например, имаме уравнението 4x ² + 10x - 6 = 0, за да го разрешим, първо идентифицираме термините a, b и c и след това го заместваме във формулата:

a = 4

b = 10

c = -6.

Има случаи, при които полиномните уравнения от втора степен нямат и трите термина и затова те се решават по различен начин:

- В случай, че квадратните уравнения нямат линеен термин (тоест b = 0), уравнението ще бъде изразено като ax ² + c = 0. За да го решите, разрешете за x ² и приложите квадратните корени във всеки член като помним, че трябва да се вземат предвид двата възможни признака, че неизвестното може да има:

ос ² + с = 0.

x ² = - c ÷ a

Например, 5 x ² - 20 = 0.

5 x ² = 20

x ² = 20 ÷ 5

x = ± √4

x = ± 2

x ₁ = 2.

x ₂ = -2.

- Когато квадратното уравнение няма независим термин (тоест c = 0), уравнението ще бъде изразено като ax ² + bx = 0. За да го разрешите, трябва да се вземе общият коефициент на неизвестното x в първия член; Тъй като уравнението е равно на нула, вярно е, че поне един от факторите ще бъде равен на 0:

ос ² + bx = 0.

x (ax + b) = 0.

По този начин, трябва да:

x = 0.

x = -b ÷ a.

Например: имаме уравнението 5x ² + 30x = 0. Първо ще разделим:

5x ² + 30x = 0

x (5x + 30) = 0.

Генерират се два фактора, които са xy (5x + 30). Счита се, че едното от тях ще бъде равно на нула, а другото е решено:

x ₁ = 0.

5x + 30 = 0

5x = -30

x = -30 ÷ 5

x ₂ = -6.

Най-висока степен

Полиномните уравнения с по-висока степен са тези, които преминават от трета степен нататък, които могат да бъдат изразени или решени с общото полиномно уравнение за всяка степен:

a _{n *} x ⁿ + a _{n-1 *} x ^n-1 +… + a _{1 *} x ¹ + a _{0 *} x ₀ = 0

Това се използва, защото уравнение със степен по-голяма от две е резултат от факториране на полином; това означава, че се изразява като умножение на полиноми от степен първа или по-голяма, но без реални корени.

Решението на тези видове уравнения е директно, защото умножението на два фактора ще бъде равно на нула, ако някой от факторите е нулев (0); следователно, всяко от намерените полиномични уравнения трябва да бъде решено, като всеки от техните фактори е равен на нула.

Например имаме уравнение на трета степен (кубично) x ³ + x ² + 4x + 4 = 0. За да го разрешите, трябва да се следват следните стъпки:

- Термините са групирани:

x ³ + x ² + 4x + 4 = 0

(x ³ + x ²) + (4x + 4) = 0.

- Членовете се разлагат, за да получат общия фактор на неизвестното:

x ² (x + 1) + 4 (x + 1) = 0

(x ² + 4) _* (x + 1) = 0.

- По този начин се получават два фактора, които трябва да са равни на нула:

(x ² + 4) = 0

(x + 1) = 0.

- Може да се види, че коефициентът (x ² + 4) = 0 няма да има реално решение, докато коефициентът (x + 1) = 0 го прави. Така че решението е:

(x + 1) = 0

x = -1.

Решени упражнения

Решете следните уравнения:

Първо упражнение

(2x ² + 5) _* (x - 3) _* (1 + x) = 0.

Решение

В този случай уравнението се изразява като умножение на полиноми; това означава, че е фактор. За да го решите, всеки фактор трябва да бъде равен на нула:

- 2x ² + 5 = 0, няма решение.

- x - 3 = 0

- x = 3.

- 1 + x = 0

- x = - 1.

Така даденото уравнение има две решения: x = 3 и x = -1.

Второ упражнение

x ⁴ - 36 = 0.

Решение

Беше даден полином, който може да бъде пренаписан като разлика от квадрати, за да се стигне до по-бързо решение. По този начин уравнението е:

(x ² + 6) _* (x ² - 6) = 0.

За да намерите решението на уравненията, и двата фактора се задават равни на нула:

(x ² + 6) = 0, няма решение.

(x ² - 6) = 0

x ² = 6

x = ± √6.

По този начин първоначалното уравнение има две решения:

x = √6.

x = - √6.

Препратки

1. Андрес, Т. (2010). Математическа олимпиада Tresure. Springer. Ню Йорк.
2. Angel, AR (2007). Елементарна алгебра. Pearson Education,.
3. Baer, ​​R. (2012). Линейна алгебра и проективна геометрия. Куриерска корпорация.
4. Балдор, А. (1941). Алгебра. Хавана: Култура.
5. Кастаньо, HF (2005). Математика преди изчислението. Университет в Меделин.
6. Cristóbal Sánchez, MR (2000). Олимпийско ръководство за подготовка по математика. Университет Jaume I.
7. Kreemly Pérez, ML (1984). Висша алгебра I.
8. Масара, NC-L. (деветнадесет деветдесет и пет). Математика 3.