ЕЛИПСОИД: ХАРАКТЕРИСТИКИ И ПРИМЕРИ - ARTE - 2025

На елипсоида е повърхност в пространство, което принадлежи към групата на quadric повърхности и чиято обща уравнение е от вида:

Той е триизмерен еквивалент на елипса, характеризиращ се с това, че има елиптични и кръгови следи в някои специални случаи. Следите са кривите, получени чрез пресичане на елипсоида с равнина.

Фигура 1. Три различни елипсоида: в горната част сфера, в която трите полуоси са равни, отдолу вляво сфероид, с две равни полуоси и различен, и накрая в долната дясна част, триосен сфероид, с три различни оси дължина. Източник: Wikimedia Commons. Ag2gaeh / CC BY-SA (https://creativecommons.org/licenses/by-sa/4.0)

В допълнение към елипсоида има още пет квадрици: еднолистов и двулистов хиперболоид, два вида параболоид (хиперболичен и елиптичен) и елиптичен конус. Следите му също са конични.

Елипсоидът може да се изрази и чрез стандартното уравнение в декартови координати. Елипсоид, съсредоточен в началото (0,0,0) и изразен по този начин, прилича на елипса, но с допълнителен термин:

Стойностите на a, b и c са реални числа, по-големи от 0 и представляват трите полуоси на елипсоида.

Характеристики на елипсоида

- Стандартно уравнение

Стандартното уравнение в декартови координати за центрираната в точката (h, k, m) е:

- Параметрични уравнения на елипсоида

В сферични координати елипсоидът може да бъде описан, както следва:

x = a sin θ. cos φ

y = b sin θ. sen φ

z = c cos θ

Полуосите на елипсоида остават a, b и c, докато параметрите са ъглите θ и φ на следната фигура:

Фигура 2. Сферичната координатна система. Елипсоидът може да се параметризира като се използват показаните ъгли theta и phi като параметри. Източник: Wikimedia Commons. Andeggs / Публично достояние.

- Следи от елипсоида

Общото уравнение на повърхността в пространството е F (x, y, z) = 0 и следите на повърхността са кривите:

- x = c; F (c, y, z) = 0

- y = c; F (x, c, z) = 0

- z = c; F (x, y, c) = 0

В случай на елипсоид, такива криви са елипси и понякога кръгове.

- Сила на звука

Обемът V на елипсоида се дава от (4/3) π пъти на произведението на трите му полуоси:

V = (4/3) π. абв

Специални случаи на елипсоида

-Елипсоидът се превръща в сфера, когато всички полуоси са с еднакъв размер: a = b = c ≠ 0. Това има смисъл, тъй като елипсоидът е като сфера, която е опъната различно по всяка ос.

-Сфероидът е елипсоид, в който две от полуосите са идентични, а третата е различна, например може да бъде a = b ≠ c.

Сфероидът също се нарича елипсоид на оборота, защото той може да се генерира чрез въртене на елипсите около ос.

Ако оста на въртене съвпада с основната ос, сфероидът е пролатен, но ако съвпада с второстепенната ос, той е облатен:

Фигура 3. Облепете сфероид отляво и изпъкнете сфероид отдясно. Източник: Wikimedia Commons.

Мярката за сплескване на сфероида (елиптичност) е дадена от разликата в дължината между двете полуоси, изразена във фракционна форма, тоест това е изравняването на единицата, дадено от:

f = (a - b) / a

В това уравнение a представлява полуосновната ос и b полу-маловажната ос, не забравяйте, че третата ос е равна на една от тях за сфероид. Стойността на f е между 0 и 1 и за сфероид той трябва да бъде по-голям от 0 (ако беше равен на 0, просто бихме имали сфера).

Референтен елипсоид

Планетите и като цяло звездите обикновено не са перфектни сфери, тъй като въртящото се движение около техните оси изравнява тялото на полюсите и го издува в екватора.

Ето защо Земята се оказва като приличен сфероид, макар и не толкова преувеличен, колкото този в предишната фигура, и от своя страна газовият гигант Сатурн е най-плоската от планетите в Слънчевата система.

Така че по-реалистичен начин за представяне на планетите е да приемем, че те са като сфероид или елипсоид на оборота, чиято полу-голяма ос е екваториалният радиус, а полу-маловажната ос - полярният радиус.

Внимателните измервания, направени на земното кълбо, направиха възможно изграждането на референтния елипсоид на Земята като най-прецизния начин да се работи математически.

Звездите също имат въртеливи движения, които им придават повече или по-малко сплескани форми. Бързата звезда Ахернар, осмата най-ярката звезда на нощното небе, в южното съзвездие Еридан е забележително елиптична в сравнение с повечето. Намира се на 144 светлинни години от нас.

В другата крайност, преди няколко години учените откриха най-сферичния обект, откриван някога: звездата Кеплер 11145123 на 5000 светлинни години, два пъти по-голяма от нашето Слънце и разлика между полуосите от само 3 км. Както се очаква, той също се върти по-бавно.

Що се отнася до Земята, тя не е перфектен сфероид или поради здравата си повърхност и локалните колебания в гравитацията. Поради тази причина има на разположение повече от един референтен сфероид и на всеки сайт се избира най-подходящият за местната география.

Помощта на спътниците е безценна при създаването на все по-точни модели на формата на Земята, благодарение на тях например е известно, че южният полюс е по-близо до екватора, отколкото северния полюс.

Фигура 4. Haumea, транснептуновата джудже планета има елипсоидална форма. Източник: Wikimedia Commons.

Числен пример

Благодарение на въртенето на Земята се създава центробежна сила, която й придава форма на продълговат елипсоид, вместо сфера. Известно е, че екваториалният радиус на Земята е 3963 мили, а полярният радиус е 3942 мили.

Намерете уравнението на екваториалната следа, тази на този елипсоид и мярката за неговото сплескване. Сравнете също с елиптичността на Сатурн, с данните, предоставени по-долу:

-Екваториален радиус на Сатурн: 60 268 км

-Полярният радиус на Сатурн: 54 364 км

Решение

Необходима е координатна система, която ще предположим, че е съсредоточена върху произхода (центъра на Земята). Ще приемем вертикалната ос z и следата, която съответства на екватора, лежи на равнината xy, еквивалентна на равнината z = 0.

В екваториалната равнина полуосите a и b са равни, следователно a = b = 3963 мили, докато c = 3942 мили. Това е специален случай: сфероид, центриран в точката (0,0,0), както беше споменато по-горе.

Екваториалната следа е окръжност с радиус R = 3963 мили, съсредоточена в началото. Изчислява се като се прави z = 0 в стандартното уравнение:

А стандартното уравнение на земния елипсоид е:

f _Земя = (a - b) / a = (3963-3942) мили / 3963 мили = 0,0053

f _Сатурн = (60268-54363) км / 60268 км = 0,0980

Обърнете внимание, че елиптичността f е безразмерно количество.

Препратки

1. ArcGIS за Desktop. Сфероиди и сфери. Възстановена от: desktop.arcgis.com.
2. BBC World. Тайната на най-сферичния обект, открит някога във Вселената. Възстановено от: bbc.com.
3. Ларсън, Р. Изчисление и аналитична геометрия. Шесто издание. Том 2. McGraw Hill.
4. Wikipedia. Елипсоид. Възстановено от: en.wikipedia.org.
5. Wikipedia. Spheroid. Възстановено от: en.wikipedia.org.