- Как да намерите площта на петоъгълник?
- Зона на редовен петоъгълник
- Зона на неправилен петоъгълник
- Гаусска детерминанта
- Препратки
В областта на петоъгълник се изчислява, като се използва метод, известен като триангулация, което може да се прилага за всяка многоъгълник. Този метод се състои в разделяне на петоъгълника на няколко триъгълника.
След това се изчислява площта на всеки триъгълник и накрая се добавят всички намерени площи. Резултатът ще бъде областта на петоъгълника.
Пентагонът също може да бъде разделен на други геометрични фигури, като трапец и триъгълник, като фигурата вдясно.
Проблемът е, че дължината на по-голямата основа и височината на трапеца не се изчисляват лесно. Също така трябва да се изчисли височината на червения триъгълник.
Как да намерите площта на петоъгълник?
Общият метод за изчисляване на площта на петоъгълник е триангулация, но методът може да бъде прав или малко по-дълъг в зависимост от това дали петоъгълникът е правилен или не.
Зона на редовен петоъгълник
Преди да се изчисли площта е необходимо да се знае какъв е апотема.
Апотема на редовен петоъгълник (редовен многоъгълник) е най-малкото разстояние от центъра на петоъгълника (полигона) до средната точка на едната страна на петоъгълника (многоъгълника).
С други думи, апотема е дължината на линейния сегмент, който отива от центъра на петоъгълника до средната точка на едната страна.
Нека разгледаме един редовен петоъгълник такъв, че дължината на страните му да е "L". За да изчислите апотема, първо разделете централния ъгъл α на броя страни, тоест α = 360º / 5 = 72º.
Сега, използвайки тригонометричните съотношения, дължината на апотема се изчислява, както е показано на следващото изображение.
Следователно апотема има дължина L / 2tan (36º) = L / 1,45.
Чрез триангулиране на петоъгълника ще се получи фигура като тази по-долу.
Всички 5 триъгълника имат една и съща площ (за това, че са редовен петоъгълник). Следователно площта на петоъгълника е 5 пъти по-голяма от площта на триъгълник. Тоест: площ на петоъгълник = 5 * (L * ap / 2).
Замествайки стойността на апотема, получаваме, че площта е A = 1,72 * L².
Следователно, за да изчислите площта на обикновен петоъгълник, трябва само да знаете дължината на едната страна.
Зона на неправилен петоъгълник
Започваме от неправилен петоъгълник, така че дължините на страните му да са L1, L2, L3, L4 и L5. В този случай апотема не може да бъде използван както е използван преди.
След извършване на триангулацията се получава фигура като следната:
Сега продължаваме да рисуваме и изчисляваме височините на тези 5 вътрешни триъгълника.
Така че площите на вътрешните триъгълници са T1 = L1 * h1 / 2, T2 = L2 * h2 / 2, T3 = L3 * h3 / 2, T4 = L4 * h4 / 2, и T5 = L5 * h5 / 2.
Стойностите за h1, h2, h3, h4 и h5 са височините на всеки триъгълник, съответно.
Най-накрая площта на петоъгълника е сборът от тези 5 области. Тоест A = T1 + T2 + T3 + T4 + T5.
Както можете да видите, изчисляването на площта на неправилен петоъгълник е по-сложно от изчисляването на площта на обикновен петоъгълник.
Гаусска детерминанта
Съществува и друг метод, чрез който може да се изчисли площта на всеки неправилен многоъгълник, известен като Гаусов детерминант.
Този метод се състои в изчертаване на многоъгълника върху декартовата равнина, след това се изчисляват координатите на всяка върха.
Върховете се изброяват обратно на часовниковата стрелка и накрая се изчисляват определени детерминанти, за да се получи най-накрая площта на въпросния многоъгълник.
Препратки
- Alexander, DC, & Koeberlein, GM (2014). Елементарна геометрия за студенти от колежа. Учене в Cengage.
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
- Лофрет, EH (2002). Книгата на таблиците и формулите / Книгата на таблиците за умножение и формулите. Въображаем.
- Palmer, CI, & Bibb, SF (1979). Практическа математика: аритметика, алгебра, геометрия, тригонометрия и правило за слайд (препечат. Изд.). Реверте.
- Posamentier, AS, & Bannister, RL (2014). Геометрия, нейни елементи и структура: Второ издание. Куриерска корпорация.
- Quintero, AH и Costas, N. (1994). Геометрия. Редакцията, UPR.
- Ruiz, Á., & Barrantes, H. (2006). Геометрии. Редакция Tecnologica de CR.
- Тора, FB (2013). Математика. 1-ва дидактическа единица 1-во ЕСО, том 1. Редакционен клуб Universitario.
- Víquez, M., Arias, R., & Araya, J. (sf). Математика (шеста година). EUNED.