А линейно пространство е непразно множество набор V = { U, V, W,……}, чиито елементи са вектори. С тях се извършват някои важни операции, сред които се открояват следните:

- Сума между два вектора ф + о Получената Z, която принадлежи към набор V.

- умножаване на реално число α от вектор V: α V дава друг вектор и принадлежащи към V.

Художествена визия на векторно пространство. Източник: Pixabay

За обозначаване на вектор използваме удебелен шрифт (v е вектор), а за скалари или цифри гръцки букви (α е число).

Аксиоми и свойства

За да бъде дадено векторно пространство, трябва да съдържат следните осем аксиоми:

1-комутативност: u + v = v + u

2-Транзитивност: (u + v) + w = u + (v + w)

3-Съществуване на нулевия вектор 0 такъв, че 0 + v = v

4-Съществуване на обратното: обратното на v е (- v), тъй като v + (- v) = 0

5-Разпределение на продукта по отношение на векторната сума: α (u + v) = α u + α v

6-Разпределение на продукта по отношение на скаларната сума: (α + β) v = α v + β v

7-Асоциативност на скаларния продукт: α (β v) = (α β) v

8-Числото 1 е неутралният елемент, тъй като: 1 v = v

Примери за векторни пространства

Пример 1

Векторите в (R²) равнина са пример за векторно пространство. Вектор в равнината е геометричен обект, който има величина и посока. Той е представен от ориентиран сегмент, който принадлежи на споменатата равнина и с размер, пропорционален на неговата величина.

Сумата от два вектора в равнината може да бъде определена като операция на геометричен превод на втория вектор след първия. Резултатът от сумата е ориентираният сегмент, който започва от началото на първия и достига върха на втория.

На фигурата се вижда, че сумата в R² е комутативна.

Фигура 2. Векторите в равнината образуват векторно пространство. Източник: самостоятелно направен.

Дефинира се и произведението на число α и вектор. Ако числото е положително, посоката на оригиналния вектор се запазва и размерът е α пъти по-голям от оригиналния вектор. Ако числото е отрицателно, посоката е обратна, а размерът на получения вектор е абсолютната стойност на числото.

Векторът срещу всеки вектор v е - v = (- 1) v.

Нулевият вектор е точка в равнината на R², а числото нула пъти, което вектор дава нулевия вектор.

Всичко казано е илюстрирано на фигура 2.

Пример 2

Множеството P на всички полиноми със степен, по-малка или равна на два, включително степен нула, образуват множество, което удовлетворява всички аксиоми на векторно пространство.

Нека полинома P (x) = a x² + bx + cy Q (x) = d x² + ex + f

Определя се сумата от два полинома: P (x) + Q (x) = (a + d) x² + (b + e) ​​x + (c + f)

Сумата от полиноми, принадлежащи към множеството P, е комутативна и преходна.

Нулевият полином, принадлежащ на множеството P, е този, който има всичките си коефициенти равни на нула:

0 (x) = 0 x² + 0 x + 0

Сумата от скалар α от полином се определя като: α P (x) = α ∙ a x² + α ∙ bx + α ∙ c

Противоположният полином на P (x) е -P (x) = (-1) P (x).

От всичко по-горе следва, че множеството P на всички полиноми със степен по-малка или равна на два е векторно пространство.

Пример 3

Множеството M на всички матрици от m редове xn колони, чиито елементи са реални числа, образуват реално векторно пространство по отношение на операциите на добавяне на матрици и произведение на число чрез матрица.

Пример 4

Множеството F от непрекъснати функции на реална променлива образуват векторно пространство, тъй като е възможно да се определи сумата от две функции, умножението на скалар по функция, нулевата функция и симетричната функция. Те изпълняват и аксиомите, които характеризират векторно пространство.

Основа и измерение на векторно пространство

база

Основата на векторно пространство се дефинира като набор от линейно независими вектори, така че от линейна комбинация от тях всеки вектор от това векторно пространство може да бъде генериран.

Линейното комбиниране на два или повече вектора се състои в умножаване на векторите по някакъв скалар и след това векториално тяхното добавяне.

Например, във векторното пространство на вектори в три измерения, образувани от R³, се използва каноничната основа, определена от единичните вектори (с величина 1) i, j, k.

Където i = (1, 0, 0); j = (0, 1, 0); k = (0, 0, 1). Това са декартови или канонични вектори.

Всеки вектор V, принадлежащ на R³, се записва като V = a i + b j + c k, което е линейна комбинация от базовите вектори i, j, k. Скаларна или номера А, В, С са известни като декартови компоненти на V.

Също така се казва, че основните вектори на векторно пространство образуват генератор на векторното пространство.

Измерение

Измерението на векторно пространство е основното число на векторна основа за това пространство; това е броят на векторите, съставляващи споменатата основа.

Този кардинал е максималният брой линейно независими вектори на това векторно пространство и в същото време минималният брой вектори, които образуват генератор от това пространство.

Основите на векторното пространство не са уникални, но всички бази на едно и също векторно пространство имат едно и също измерение.

Вектор подпространство

Векторно подпространство S на векторно пространство V е подмножество от V, в което са дефинирани същите операции като в V и изпълнява всички аксиоми на векторно пространство. Следователно, подпространството S също ще бъде векторно пространство.

Пример за векторно подпространство са векторите, които принадлежат на равнината XY. Това подпространство е подмножество на векторно пространство с размерност, по-голямо от множеството вектори, принадлежащи към триизмерното пространство XYZ.

Друг пример за векторно подпространство S1 на векторното пространство S, образувано от всички 2 × 2 матрици с реални елементи, е дефиниран по-долу:

От друга страна, S2, дефиниран по-долу, въпреки че е подмножество на S, не образува векторно подпространство:

Решени упражнения

-Упражнение 1

Нека векторите V1 = (1, 1, 0); V2 = (0, 2, 1) и V3 = (0, 0, 3) в R³.

а) Покажете, че са линейно независими.

б) Покажете, че те представляват основа в R³, тъй като всеки тройник (x, y, z) може да бъде записан като линейна комбинация от V1, V2, V3.

в) Намерете компонентите на тройната V = (-3,5,4) в основата V1, V2, V3.

Решение

Критерият за демонстриране на линейна независимост се състои в установяване на следния набор от уравнения в α, β и γ

α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3) = (0, 0, 0)

В случай, че единственото решение на тази система е α = β = γ = 0, тогава векторите са линейно независими, в противен случай не са.

За получаване на стойностите на α, β и γ предлагаме следната система от уравнения:

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = 0

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = 0

Първият води до α = 0, вторият α = -2 ∙ β, но тъй като α = 0, тогава β = 0. Третото уравнение предполага, че γ = (- 1/3) β, но тъй като β = 0, тогава γ = 0.

Отговор на

Заключено е, че това е набор от линейно независими вектори в R³.

Отговор b

Сега нека напишем тройката (x, y, z) като линейна комбинация от V1, V2, V3.

(x, y, z) = α V1 + β V2 + γ V3 = α (1, 1, 0) + β (0, 2, 1) + γ (0, 0, 3)

α ∙ 1 + β ∙ 0 + γ ∙ 0 = x

α ∙ 1 + β ∙ 2 + γ ∙ 0 = y

α ∙ 0 + β ∙ 1 + γ ∙ 3 = z

Къде имате:

α = x

α + 2 β = y

β + 3 γ = z

Първият означава α = x, вторият β = (yx) / 2, а третият γ = (z- y / 2 + x / 2) / 3. По този начин ние открихме генераторите на α, β и γ на който и да е триплет от R³

Отговор c

Да продължим да намерим компонентите на тройната V = (-3,5,4) в основата V1, V2, V3.

Заменяме съответните стойности в изразите, намерени по-горе за генераторите.

В този случай имаме: α = -3; β = (5 - (- 3)) / 2 = 4; γ = (4- 5/2 + (- 3) / 2) / 3 = 0

Това е:

(-3,5,4) = -3 (1, 1, 0) + 4 (0, 2, 1) + 0 (0, 0, 3)

До последно:

V = -3 V1 + 4 V2 + 0 V3

Заключваме, че V1, V2, V3 образуват основа във векторното пространство R³ на измерение 3.

-Упражнение 2

Изразете полинома P (t) = t² + 4t -3 като линейна комбинация от P1 (t) = t² -2t + 5, P2 (t) = 2t² -3t и P3 (t) = t + 3.

Решение

P (t) = x P1 (t) + y P2 (t) + z P3 (t)

където числата x, y, z трябва да се определят.

Умножавайки и групирайки термини с една и съща степен в t, получаваме:

t² + 4 t -3 = (x + 2y) t² + (-2x -3y + z) t + (5x + 3z)

Което ни води към следната система от уравнения:

x + 2y = 1

-2x -3y + z = 4

5x + 3z = -3

Решенията на тази система от уравнения са:

x = -3, y = 2, z = 4.

Това е:

P (t) = -3 P1 (t) + 2 P2 (t) + 4 P3 (t)

-Упражнение 3

Покажете, че векторите v1 = (1, 0, -1, 2); v2 = (1, 1, 0, 1) и v3 = (2, 1, -1, 1) на R⁴ са линейно независими.

Решение

Линейно комбинираме трите вектора v1, v2, v3 и изискваме комбинацията да добави нулевия елемент на R⁴

a v1 + b v2 + c v3 = 0

Тоест, a (1, 0, -1, 2) + b (1, 1, 0, 1) + c (2, 1, -1, 1) = (0, 0, 0, 0)

Това ни води към следната система от уравнения:

a + b + 2 c = 0

b + c = 0

-a - c = 0

2 a + b + c = 0

Като изваждаме първата и четвъртата имаме: -a + c = 0, което предполага a = c.

Но ако погледнем третото уравнение, имаме това a = -c. Единственият начин, който a = c = (- c) има, е c да е 0 и следователно a също ще бъде 0.

a = c = 0

Ако включим този резултат в първото уравнение, тогава заключаваме, че b = 0.

Накрая a = b = c = 0, така че може да се заключи, че векторите v1, v2 и v3 са линейно независими.

Препратки

1. Lipschutz, S. 1993. Линейна алгебра. Второ издание. McGraw-Hill. 167-198.