ОБЩ ФАКТОР ЧРЕЗ ГРУПИРАНЕ НА ТЕРМИНИ: ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В общ фактор чрез групиране на термините е алгебрична процедура, която ви позволява да записвате някои алгебрични изрази под формата на фактори. За да постигнете тази цел, първо трябва да групирате правилно израза и да наблюдавате, че всяка така образувана група има всъщност общ фактор.

Правилното прилагане на техниката изисква известна практика, но за нула време я овладявате. Нека първо разгледаме илюстративен пример, описан стъпка по стъпка. Тогава читателят може да приложи наученото във всяко от упражненията, които ще се появят по-късно.

Фигура 1. Вземането на общ фактор чрез групиране на термини улеснява работата с алгебраични изрази. Източник: Pixabay

Например, да предположим, че трябва да изразите следния израз:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Този алгебричен израз се състои от 4 мономера или термина, разделени със знаци + и -, а именно:

2x ², 2xy, -3zx, -3zy

Разглеждайки внимателно, x е общ за първите три, но не и за последния, докато y е общ за втория и четвъртия, а z е общ за третия и четвъртия.

Така че по принцип няма общ фактор за четирите термина едновременно, но ако те са групирани, както ще бъде показано в следващия раздел, възможно е да се появи един, който помага да се напише израза като продукт на два или повече фактори.

Примери

Фактор на израза: 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy

Стъпка 1: Групиране

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² + 2xy) + (-3zx - 3zy)

Стъпка 2: Намерете общия фактор на всяка група

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy =

= (2x ² + 2xy) - (3zx + 3zy) =

= 2x (x + y) - 3z (x + y)

Аз АЖНИ: Знакът на негативното също е често срещан фактор, който трябва да бъде взето под внимание.

Сега имайте предвид, че скобите (x + y) се повтарят в двата термина, получени чрез групиране. Това е общият фактор, който се търсеше.

Стъпка 3: Фактор на целия израз

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (x + y) (2x - 3z)

С предишния резултат е постигната целта на факторинг, която не е нищо друго освен преобразуване на алгебричен израз, базиран на допълнения и изваждания на термини, в произведение на два или повече фактора, в нашия пример на: (x + y) и (2x - 3z).

Важни въпроси относно общия фактор чрез групиране

Въпрос 1: Как да разбера, че резултатът е правилен?

Отговор: Свойството за разпределение се прилага към получения резултат и след намаляване и опростяване, така полученият израз трябва да съвпада с оригинала, ако не, има грешка.

В предишния пример работим обратно с резултата, за да проверим дали е правилен:

(x + y) (2x - 3z) = 2x ² -3zx + 2xy - 3zy

Тъй като редът на добавките не променя сумата, след прилагане на дистрибуторското свойство всички първоначални термини се връщат, включително и знаци, следователно факторизацията е правилна.

Въпрос 2: Може ли да се групира по друг начин?

Отговор: Има алгебраични изрази, които позволяват повече от една форма на групиране и други, които не. В избрания пример читателят може сам да изпробва други възможности, например групиране по този начин:

2x ² + 2xy - 3zx - 3zy = (2x ² - 3zx) + (2xy - 3zy)

И можете да проверите дали резултатът е същият, както е получен тук. Намирането на оптималното групиране е въпрос на практика.

Въпрос 3: Защо е необходимо да се вземе общ фактор от алгебричен израз?

Отговор: Тъй като има приложения, в които факторният израз прави изчисленията по-лесни. Например, да предположим, че искате да зададете 2x ² + 2xy - 3zx - 3zy, равно на 0. Какви са възможностите?

За да отговорите на този въпрос, факторната версия е много по-полезна от първоначалната разработка от гледна точка. Посочено е така:

(x + y) (2x - 3z) = 0

Една от възможностите изразът да е на стойност 0 е, че x = -y, независимо от стойността на z. А другото е, че x = (3/2) z, независимо от стойността на y.

Упражнения

- Упражнение 1

Извличане на общ фактор на следния израз чрез групиране на термини:

ax + ay + bx + by

Решение

Първите две са групирани, с общия фактор "a", а последните две с общия фактор "b":

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y)

След като това е направено, се разкрива нов общ фактор, който е (x + y), така че:

ax + ay + bx + by = a (x + y) + b (x + y) = (x + y) (a + b)

Друг начин за групиране

Този израз поддържа друг начин за групиране. Нека да видим какво ще стане, ако термините са пренаредени и се направи група с тези, които съдържат x и друга с тези, които съдържат y:

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b)

По този начин новият общ фактор е (a + b):

ax + ay + bx + by = ax + bx + ay + by = x (a + b) + y (a + b) = (x + y) (a + b)

Което води до същия резултат от първото тестване на групата.

- Упражнение 2

Следният алгебричен израз трябва да бъде написан като произведение на два фактора:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ²

Решение

Този израз съдържа 6 термина. Нека опитаме да групираме първо и четвърто, второ и трето и накрая пето и шесто:

3a ³ - 3a ² b + 9ab ² -a ² + ab-3b ² = (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab-3b ²)

Сега всяка скоба се взема предвид:

= (3a ³ -a ²) + (- 3a ² b + 9ab ²) + (ab -3b ²) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b)

На пръв поглед изглежда, че ситуацията е била сложна, но читателят не бива да се обезкуражава, тъй като ще пренапишем последния термин:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b –a) + b (a-3b) = a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a)

Последните два термина сега имат общ фактор, който е (3b-a), така че те могат да бъдат взети предвид. Много е важно да не изпускате от поглед първия мандат a ² (3a - 1), който трябва да продължава да придружава всичко като допълнение, дори и да не работите с него:

a ² (3a - 1) + 3ab (3b-a) - b (3b-a) = a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b)

Изразът е сведен до два термина и в последния е открит нов общ фактор, който е „b“. Сега остава:

a ² (3a - 1) + (3b-a) (3ab-b) = a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1)

Следващият общ фактор, който се появява, е 3a - 1:

a ² (3a - 1) + b (3b-a) (3a-1) = (3a - 1)

Или ако предпочитате без скоби:

(3a - 1) = (3a - 1) (a ² –ab + 3b ²)

Може ли читателят да намери друг начин за групиране, който да доведе до същия този резултат?

Фигура 2. Предложени упражнения за факторинг. Източник: Ф. Сапата.

Препратки

1. Балдор, А. 1974. Елементарна алгебра. Културна Венезолана SA
2. Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
3. Основни случаи на факторинг. Възстановени от: julioprofe.net.
4. Пумас. Основна математика: Факторизация чрез групиране на термини. Факултет по счетоводство и администрация.
5. Zill, D. 1984. Алгебра и тригонометрия. MacGraw Hill.