ФАКТОРИНГ: МЕТОДИ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

В факторизирането е метод, чрез който полином се изразява като умножение фактори, които могат да бъдат цифри или букви или и двете. Като фактор факторите, които са общи за термините, се групират и по този начин полиномът се разлага на няколко полинома.

По този начин, когато факторите се умножат заедно, резултатът е първоначалният полином. Факторингът е много полезен метод, когато имате алгебрични изрази, тъй като той може да бъде преобразуван в умножение на няколко прости термина; например: 2a ² + 2ab = 2a _* (a + b).

Има случаи, при които полином не може да бъде отчитан, тъй като няма общ фактор между неговите термини; по този начин, тези алгебрични изрази са делими само от себе си и от 1. Например: x + y + z.

В алгебричен израз общият фактор е най-големият общ делител на термините, които го съставят.

Методи на факторинг

Има няколко метода на факторинг, които се прилагат в зависимост от конкретния случай. Някои от тях са следните:

Факторинг по общ фактор

При този метод се идентифицират тези общи фактори; тоест тези, които се повтарят в термините на израза. Тогава се прилага свойството на разпределение, взема се най-големият общ делител и факторингът е завършен.

С други думи, общият фактор на израза се идентифицира и всеки термин се разделя от него; Получените термини ще бъдат умножени от най-големия общ делител, за да се изрази факторизацията.

Пример 1

Фактор (b ² x) + (b ² y).

Решение

Първо намирате общия коефициент на всеки термин, който в този случай е b ², и след това разделяте термините на общия фактор, както следва:

(b ² x) / b ² = x

(b ² y) / b ² = y.

Факторизацията се изразява, умножавайки общия фактор с получените термини:

(b ² x) + (b ² y) = b ² (x + y).

Пример 2

Фактор (2a ² b ³) + (3ab ²).

Решение

В този случай имаме два фактора, които се повтарят във всеки термин, които са "a" и "b", и които се издигат до сила. За да ги изчислим, двата термина първо се разлагат в дългата си форма:

2 _* a _* a _* b _* b _* b + 3a _* b _* b

Вижда се, че фактор "а" се повтаря само веднъж във втория мандат, а фактор "b" се повтаря два пъти в това; така че в първия мандат остават само 2, фактор "a" и фактор "b"; докато във втория мандат остават само 3.

Следователно, времената, които се повтарят „a“ и „b“, се записват и умножават по коефициентите, останали от всеки термин, както е показано на изображението:

Групиране на факторинг

Тъй като не във всички случаи най-големият общ делител на полином е ясно изразен, е необходимо да се направят други стъпки, за да може да се пренапише полиномът и по този начин да се коментира.

Една от тези стъпки е да групирате термините на полинома в няколко групи и след това да използвате метода с общ фактор.

Пример 1

Фактор ac + bc + ad + bd.

Решение

Има 4 фактора, при които два са често срещани: в първия мандат е «c», а във втория - «d». По този начин двата термина са групирани и разделени:

(ac + bc) + (ad + bd).

Сега е възможно да се приложи методът на общия фактор, като всеки термин се раздели на неговия общ коефициент и след това се умножи този общ фактор с получените термини, като този:

(ac + bc) / c = a + b

(ad + bd) / d = a + b

c (a + b) + d (a + b).

Сега получаваме бином, който е общ за двата термина. За да го разделим, той се умножава по останалите фактори; по този начин трябва да:

ac + bc + ad + bd = (c + d) _* (a + b).

Инспекционен факторинг

Този метод се използва за определяне на квадратични полиноми, наричани също триноми; тоест тези, които са структурирани като ax ² ± bx + c, където стойността на „a“ е различна от 1. Този метод се използва също, когато триномиалът има формата x ² ± bx + c и стойността „a“ = 1.

Пример 1

Фактор x ² + 5x + 6.

Решение

Имаме квадратичен тричлен с формата x ² ± bx + c. За да го изчислите, първо трябва да намерите две числа, които, умножени, дават в резултат стойността «c» (тоест 6) и че тяхната сума е равна на коефициента «b», който е 5. Тези числа са 2 и 3:

2 _* 3 = 6

2 + 3 = 5.

По този начин изразът се опростява така:

(x ² + 2x) + (3x + 6)

Всеки термин е фактуриран:

- За (x ² + 2x) общият термин се приема: x (x + 2)

- За (3x + 6) = 3 (x + 2)

По този начин изразът е:

x (x +2) + 3 (x +2).

Тъй като имаме общ биномиал, за да намалим израза, го умножаваме по останалите термини и трябва да:

x ² + 5x + 6 = (x + 2) _* (x + 3).

Пример 2

Фактор 4a ² + 12a + 9 = 0.

Решение

Имаме квадратичен тричлен на формата ax ² ± bx + cy, за да го преобразуваме, умножаваме целия израз на коефициента x ²; в случая 4.

4а ² + 12а +9 = 0

4а ² (4) + 12а (4) + 9 (4) = 0 (4)

16 a ² + 12a (4) + 36 = 0

4 ² a ² + 12a (4) + 36 = 0

Сега трябва да намерим две числа, които, умножени помежду си, дават в резултат стойността на "c" (което е 36) и които, когато се добавят, дават като резултат коефициента на термина "a", който е 6.

6 _* 6 = 36

6 + 6 = 12.

По този начин изразът се пренаписва, като се вземе предвид, че 4 ² a ² = 4a _* 4a. Следователно, дистрибуторската собственост се прилага за всеки термин:

(4а + 6) _* (4а + 6).

Накрая, изразът се разделя на коефициента a ²; тоест 4:

(4-ти + 6) _* (4-ти + 6) / 4 = ((4-ти + 6) / 2) _* ((4-ти + 6) / 2).

Изразът е следният:

4a ² + 12a +9 = (2a +3) _* (2a + 3).

Факторинг с забележителни продукти

Има случаи, когато, за да се разделят изцяло полиномите с горните методи, това се превръща в много дълъг процес.

Ето защо може да се развие израз с формулите на забележителните продукти и по този начин процесът става по-опростен. Сред най-широко използваните забележителни продукти са:

- Разлика на два квадрата: (a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

- Перфектен квадрат на сума: a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

- Перфектен квадрат на разлика: a ² - 2ab + b ² = (a - b) ²

- Разлика от две кубчета: a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

- Сума от две кубчета: a ³ - b ³ = (a + b) _* (a ² - ab + b ²)

Пример 1

Фактор (5 ² - x ²)

Решение

В този случай има разлика от два квадрата; следователно забележителната формула на продукта се прилага:

(a ² - b ²) = (a - b) _* (a + b)

(5 ² - x ²) = (5 - x) _* (5 + x)

Пример 2

Фактор 16x ² + 40x + 25 ²

Решение

В този случай имате перфектен квадрат от сума, защото можете да идентифицирате два термина в квадрат, а терминът, който остава, е резултат от умножаването на два по квадратния корен на първия член, по квадратния корен на втория термин.

a ² + 2ab + b ² = (a + b) ²

За да се изчисляват само квадратните корени на първия и третия член:

√ (16x ²) = 4x

√ (25 ²) = 5.

Тогава двата получени термина се изразяват разделени със знака на операцията и целият полином е квадрат:

16x ² + 40x + 25 ² = (4x + 5) ².

Пример 3

Фактор 27a ³ - b ³

Решение

Изразът представлява изваждане, при което два фактора са кубирани. За да ги разделим, се прилага формулата за забележимия продукт на разликата в кубчета, която е:

a ³ - b ³ = (ab) _* (a ² + ab + b ²)

По този начин, за да се прецени, коренът на куба на всеки член на биномиал се взема и се умножава по квадрата на първия член, плюс произведението на първия от втория член, плюс втория член в квадрат.

27а ³ - б ³

³√ (27a ³) = 3a

³√ (-b ³) = -b

27a ³ - b ³ = (3a - b) _*

27a ³ - b ³ = (3a - b) _* (9a ² + 3ab + b ²)

Факторинг с правилото на Ruffini

Този метод се използва, когато имате полином със степен по-голяма от два, за да опростите израза до няколко полинома с по-малка степен.

Пример 1

Фактор Q (x) = x ⁴ - 9x ² + 4x + 12

Решение

Първо търсим числата, които са делители на 12, което е независимият термин; Това са ± 1, ± 2, ± 3, ± 4, ± 6 и ± 12.

Тогава x се заменя с тези стойности, от най-ниските до най-високите, и по този начин се определя с коя от стойностите делението ще бъде точно; тоест, остатъкът трябва да е 0:

x = -1

Q (-1) = (-1) ⁴ - 9 (-1) ² + 4 (-1) + 12 = 0.

x = 1

Q (1) = 1 ⁴ - 9 (1) ² + 4 (1) + 12 = 8 ≠ 0.

x = 2

Q (2) = 2 ⁴ - 9 (2) ² + 4 (2) + 12 = 0.

И така нататък за всеки делител. В този случай намерените фактори са за x = -1 и x = 2.

Сега се прилага методът на Ruffini, според който коефициентите на израза ще бъдат разделени на откритите фактори, така че делението е точно. Полиномните термини са подредени от най-високия до най-ниския показател; в случай, че в последователността липсва термин със следващата степен, на негово място се поставя 0.

Коефициентите са разположени по схема, както е показано на следващото изображение.

Първият коефициент се понижава и умножава по делителя. В този случай първият делител е -1, а резултатът се поставя в следващата колона. Тогава стойността на коефициента с получения резултат се добавя вертикално и резултатът се поставя по-долу. По този начин процесът се повтаря до последната колона.

Тогава същата процедура се повтаря отново, но с втория делител (който е 2), защото изразът все още може да бъде опростен.

По този начин, за всеки получен корен полиномът ще има термин (x - a), където "a" е стойността на корена:

(x - (-1)) _* (x - 2) = (x + 1) _* (x - 2)

От друга страна, тези термини трябва да се умножат по остатъка от правилото на Ruffini 1: 1 и -6, които са фактори, които представляват степен. По този начин изразът, който се образува, е: (x ² + x - 6).

Получаването на резултата от факторизацията на полинома по метода на Ruffini е:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x ² + x - 6)

И накрая, полиномът на степен 2, който се появява в предишния израз, може да бъде преписан като (x + 3) (x-2). Следователно, крайната факторизация е:

x ⁴ - 9x ² + 4x + 12 = (x + 1) _* (x - 2) _* (x + 3) _* (x-2).

Препратки

1. Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
2. J, V. (2014). Как да преподаваме на децата да участват в полином.
3. Мануел Морило, AS (sf). Основна математика с приложения.
4. Roelse, PL (1997). Линейни методи за полиномична факторизация над крайни полета: теория и реализации. Universität Essen.
5. Шарп, Д. (1987). Пръстени и факторизация.