БЕКТИВНА ФУНКЦИЯ: КАКВО Е, КАК СЕ ПРАВИ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

А биективен функция е тази, която отговаря на две условия: да бъде инжекционна и surjective. Тоест, всички елементи на домейна имат едно изображение в кодомейна, а от своя страна кодомейнът е равен на ранга на функцията (R _f).

Той се изпълнява, като се разгледа връзка между лицата между елементите на домейна и кодомейн. Прост пример е функцията F: R → R, дефинирана от линията F (x) = x

Източник: Автор

Забелязва се, че за всяка стойност на домейна или началния набор (и двата термина се прилагат еднакво) има едно изображение в кодомейна или набора за пристигане. В допълнение, няма елемент от кодомейна, освен изображението.

По този начин F: R → R, определен от линията F (x) = x, е биективен

Как да направите биективна функция?

За да се отговори на това, е необходимо да се разяснят понятията Injectivity и Overjectivity на функция, в допълнение към критериите за кондициониране на функциите, за да бъдат адаптирани към изискванията.

Инжективност на функция

Функцията е инжекционна, когато всеки от елементите на своя домейн е свързан с един елемент от кодомейн. Елемент от кодомейн може да бъде само изображението на един елемент от домейна, като по този начин стойностите на зависимата променлива не могат да бъдат повторени.

За да се счита функцията за инжектираща, трябва да бъде изпълнено следното:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Surjectivity на функция

Функцията се класифицира като сюжективна, ако всеки елемент от нейната кодомейн представлява изображение на поне един елемент от домейна.

За да се счита функцията сюжективна, трябва да бъде изпълнено следното:

Нека F: D _f → C _f

∀ b ℮ C _f E a ℮ D _f / F (a) = b

Това е алгебричният начин да се установи, че за всяко „b“, което принадлежи на C _f, има „a“, което принадлежи на D _f, така че функцията, оценена в „a“, е равна на „b“.

Функциониране

Понякога функция, която не е биективна, може да бъде подложена на определени условия. Тези нови условия могат да го превърнат в биективна функция. Всички видове модификации на домейна и кодомейна на функцията са валидни, където целта е да се изпълнят свойствата на инжектируемост и сюрприективност в съответната връзка.

Примери: решени упражнения

Упражнение 1

Нека функцията F: R → R се дефинира от линията F (x) = 5x +1

A:

Наблюдава се, че за всяка стойност на домейна има изображение в кодомейн. Това изображение е уникално, което превръща F в инжекционна функция. По същия начин наблюдаваме, че кодомейнът на функцията е равен на нейния ранг. По този начин се изпълнява условието за сюжективност.

Като едновременно инжектиращи и сюжективни можем да заключим това

F: R → R, определен от линията F (x) = 5x +1, е биективна функция.

Това се отнася за всички линейни функции (Функции, чиято най-висока степен на променливата е една).

Упражнение 2

Нека функцията F: R → R се дефинира чрез F (x) = 3x ² - 2

Когато рисувате хоризонтална линия, се наблюдава, че графиката е открита повече от един път. Поради това функцията F не е инжекционна и следователно няма да бъде биективна, докато е дефинирана в R → R

По същия начин има стойности на кодомейн, които не са изображения на нито един елемент от домейна. Поради това функцията не е сюрприктивна, което също заслужава да обуслави настройката за пристигане.

Продължаваме да обуславяме домейна и кодомейна на функцията

F: →

Когато се наблюдава, че новият домейн покрива стойностите от нула до положителна безкрайност. Избягване на повторението на стойности, които влияят на инжективността.

По същия начин кодомейнът е модифициран, отброяващ от "-2" до положителна безкрайност, като елиминира от кодомейна стойностите, които не отговарят на нито един елемент от домейна

По този начин може да се гарантира, че F : → дефинирано от F (x) = 3x ² - 2

Той е биективен

Упражнение 3

Нека функцията F: R → R се дефинира от F (x) = Sen (x)

В интервала синусовата функция варира своите резултати между нула и единица.

Източник: Автор.

Функцията F не отговаря на критериите за инжективност и сюективност, тъй като стойностите на зависимата променлива се повтарят на всеки интервал от π. Освен това, термините на кодомейна извън интервала не са изображение на нито един елемент от домейна.

При изучаване на графиката на функцията F (x) = Sen (x) се наблюдават интервали, където поведението на кривата отговаря на критериите за биективност. Както например интервалът D _f = за домейна. И C _f = за кодомейна.

Когато функцията варира, е резултат от 1 до -1, без да се повтаря никаква стойност в зависимата променлива. И в същото време кодомейнът е равен на стойностите, приети от израза Sen (x)

По този начин функцията F: → дефинирана от F (x) = Sen (x). Той е биективен

Упражнение 4

Посочете необходимите условия за D _f и C _f. Значи изразът

F (х) = -x ² се биективен.

Източник: Автор

Повтарянето на резултатите се наблюдава, когато променливата приема противоположни стойности:

F (2) = F (-2) = -4

F (3) = F (-3) = -9

F (4) = F (-4) = -16

Домейнът се обуславя, ограничавайки го до дясната страна на реалната линия.

D _f =

По същия начин се наблюдава, че обхватът на тази функция е интервалът, който, когато действа като кодомейн, изпълнява условията на сюррективност.

По този начин можем да заключим това

Изразът F: → определен от F (x) = -x ² Той е биективен

Предложени упражнения

Проверете дали следните функции са биективни:

F: → R, определен от F (x) = 5ctg (x)

F: → R, определен от F (x) = Cos (x - 3)

F: R → R, дефиниран от линията F (x) = -5x + 4

Препратки

1. Въведение в логиката и критическото мислене. Merrilee H. Salmon. Университета в Питсбърг
2. Проблеми в математическия анализ. Пьотр Билер, Алфред Витковски. Университет във Вроцлав. Полша.
3. Елементи на абстрактния анализ. Доктор на науките Мичел О'Съркойд. Катедра по математика. Университетски колеж Дъблин, Beldfield, Dublind 4
4. Въведение в логиката и методологията на дедуктивните науки. Алфред Тарски, Ню Йорк Оксфорд. Университетска преса в Оксфорд.
5. Принципи на математическия анализ. Енрике Линес Ескаро. Редакционно издание Reverté S. A 1991. Барселона Испания.