ИНЖЕКЦИОННА ФУНКЦИЯ: КАКВО Е, ЗА КАКВО Е И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Един Инекция е всяко отношение на елементи на областта с един елемент на codomain. Известни също като функция „ един към един“ (1 - 1), те са част от класификацията на функциите по отношение на начина, по който се свързват техните елементи.

Елемент от кодомейна може да бъде само изображението на един елемент от домейна, като по този начин стойностите на зависимата променлива не могат да бъдат повторени.

Източник: Автор.

Ясен пример е групирането на мъже с работни места в група А, а в група Б - всички шефове. Функция F ще бъде тази, която свързва всеки работник със своя шеф. Ако всеки работник е свързан с различен шеф чрез F, тогава F ще бъде инжекционна функция.

За да се счита функцията за инжектираща, трябва да бъде изпълнено следното:

∀ x ₁ ≠ x ₂ ⇒ F (x ₁) ≠ F (x ₂)

Това е алгебричният начин на казване За всеки x ₁ различен от x ₂ имаме F (x ₁), различен от F (x ₂).

За какво са предназначени инжекционните функции?

Инжекционността е свойство на непрекъснатите функции, тъй като те осигуряват назначаването на изображения за всеки елемент от домейна, съществен аспект в непрекъснатостта на дадена функция.

Когато начертавате линия, успоредна на оста X на графиката на инжекционната функция, графиката трябва да се докосва само в една точка, без значение на каква височина или величина на Y се чертае линията. Това е графичният начин за тестване на инжективността на дадена функция.

Друг начин за тестване дали дадена функция е инжекционна е чрез решаване на независимата променлива X по отношение на зависимата променлива Y. Тогава тя трябва да бъде проверена дали домейнът на този нов израз съдържа реалните числа, едновременно с това за всяка стойност на Y има единична стойност на X.

Функциите или отношенията на ред се подчиняват, наред с други начини, на обозначението F: D _f → C _f

Какво се чете F, което преминава от D _f към C _f

Където функцията F свързва множествата Domain и Codomain. Известен също като стартовия и завършващия комплект.

Домейнът D _f съдържа разрешените стойности за независимата променлива. Кодомейнът C _f се състои от всички стойности, достъпни за зависимата променлива. Елементите на C _f, свързани с D _f, са известни като Обхват на функцията (R _f).

Функциониране

Понякога функция, която не е инжекционна, може да бъде подложена на определени условия. Тези нови условия могат да го направят инжекционна функция. Всички видове модификации на домейна и кодомейна на функцията са валидни, където целта е да се изпълнят свойствата на инжектираност в съответната връзка.

Примери за инжекционни функции с решени упражнения

Пример 1

Нека функцията F: R → R се дефинира от линията F (x) = 2x - 3

A:

Източник: Автор.

Наблюдава се, че за всяка стойност на домейна има изображение в кодомейн. Това изображение е уникално, което превръща F в инжекционна функция. Това се отнася за всички линейни функции (Функции, чиято най-висока степен на променливата е една).

Източник: Автор.

Пример 2

Нека функцията F: R → R се дефинира чрез F (x) = x ² +1

Източник: Автор

Когато рисувате хоризонтална линия, се наблюдава, че графиката е открита повече от един път. Поради това функцията F не е инжекционна, стига да е дефиниран R → R

Продължаваме да обуславяме домейна на функцията:

F: R ⁺ U {0} → R

Източник: Автор

Сега независимата променлива не приема отрицателни стойности, по този начин се избягва повтарянето на резултатите и функцията F: R ⁺ U {0} → R, дефинирана от F (x) = x ² + 1, е инжекционна.

Друго хомологично решение би било да се ограничи домейнът вляво, тоест да се ограничи функцията да приема само отрицателни и нулеви стойности.

Продължаваме да обуславяме домейна на функцията

F: R ^- U {0} → R

Източник: Автор

Сега независимата променлива не приема отрицателни стойности, по този начин се избягва повтарянето на резултатите и функцията F: R ^- U {0} → R, дефинирана от F (x) = x ² + 1, е инжекционна.

Тригонометричните функции имат вълнообразно поведение, където е много често да се намерят повторения на стойности в зависимата променлива. Чрез специфично кондициониране, въз основа на предварително познаване на тези функции, можем да стесним домейна, за да отговорим на условията за инжектиране.

Пример 3

Нека функцията F: → R се дефинира с F (x) = Cos (x)

В интервала косинусната функция варира своите резултати между нула и единица.

Източник: Автор.

Както се вижда от графиката. Започва от нула при x = - π / 2, след което достига максимум при нула. След x = 0 стойностите започват да се повтарят, докато не се върнат на нула при x = π / 2. По този начин е известно, че F (x) = Cos (x) не е инжективен за интервала.

При изучаване на графиката на функцията F (x) = Cos (x) се наблюдават интервали, при които поведението на кривата се адаптира към критериите за инжектиране. Такъв е интервалът

Когато функцията варира, е резултат от 1 до -1, без да се повтаря никаква стойност в зависимата променлива.

По този начин функционалната функция F: → R, дефинирана от F (x) = Cos (x). Той е инжективен

Има нелинейни функции, където се срещат подобни случаи. За изразите от рационален тип, където знаменателят съдържа най-малко една променлива, има ограничения, които предотвратяват инжективността на връзката.

Пример 4

Нека функцията F: R → R се дефинира чрез F (x) = 10 / x

Функцията е дефинирана за всички реални числа, с изключение на {0} с неопределеност (Не може да бъде разделена на нула) .

Тъй като зависимата променлива се приближава до нулата отляво, тя приема много големи отрицателни стойности и веднага след нула стойностите на зависимата променлива приемат големи положителни цифри.

Това прекъсване прави израза F: R → R, дефиниран с F (x) = 10 / x

Не бъдете инжективни.

Както се вижда от предишните примери, изключването на стойности в домейна служи за „поправяне“ на тези неопределености. Пристъпваме към изключване на нула от домейна, като оставяме началните и завършващите набори, както следва:

R - {0} → R

Където R - {0} символизира истините, с изключение на набор, чийто единствен елемент е нула.

По този начин изразът F: R - {0} → R, определен от F (x) = 10 / x, е инжективен.

Пример 5

Нека функцията F: → R се дефинира с F (x) = Sen (x)

В интервала синусовата функция варира своите резултати между нула и единица.

Източник: Автор.

Както се вижда от графиката. Започва от нула при x = 0 и след това достига максимум при x = π / 2. След x = π / 2 стойностите започват да се повтарят, докато не се върнат на нула при x = π. По този начин е известно, че F (x) = Sen (x) не е инжективен за интервала.

При изучаване на графиката на функцията F (x) = Sen (x) се наблюдават интервали, при които поведението на кривата се адаптира към критериите за инжектиране. Такъв е интервалът

Когато функцията варира, е резултат от 1 до -1, без да се повтаря никаква стойност в зависимата променлива.

По този начин функцията F: → R, дефинирана от F (x) = Sen (x). Той е инжективен

Пример 6

Проверете дали функцията F: → R, дефинирана от F (x) = Tan (x)

F: → R, определен от F (x) = Cos (x + 1)

F: R → R, дефиниран от линията F (x) = 7x + 2

Препратки

1. Въведение в логиката и критическото мислене. Merrilee H. Salmon. Университета в Питсбърг
2. Проблеми в математическия анализ. Пьотр Билер, Алфред Витковски. Университет във Вроцлав. Полша.
3. Елементи на абстрактния анализ. Доктор на науките Мичел О'Съркойд. Катедра по математика. Университетски колеж Дъблин, Beldfield, Dublind 4.
4. Въведение в логиката и методологията на дедуктивните науки. Алфред Тарски, Ню Йорк Оксфорд. Университетска преса в Оксфорд.
5. Принципи на математическия анализ. Енрике Линес Ескаро. Редакционно издание Reverté S. A 1991. Барселона Испания.