- Примери
- Предимствата на логаритмите
- пример
- Отговор
- Упражнение за приложение: скалата на Рихтер
- Решение
- Препратки
Най- логаритмична функция е математически отношения, в който всяка положително реално число х с логаритъм у на база. Тази връзка отговаря на изискванията за функция: всеки елемент x, принадлежащ на домейна, има уникално изображение.
По този начин:
Тъй като логаритъмът, базиран на число x, е числото y, на което базата a трябва да бъде повдигната, за да се получи x.
-Логаритмът на основата винаги е 1. По този начин графиката на f (x) = log a x винаги пресича оста x в точката (1,0)
- Логаритмичната функция е трансцендентна и не може да бъде изразена като полином или като коефициент от тях. В допълнение към логаритъма, тази група включва тригонометричните функции и експоненциалната наред с други.
Примери
Логаритмичната функция може да бъде установена от различни бази, но най-използваните са 10 и e, където e е числото на Ойлер, равно на 2.71828….
Когато се използва база 10, логаритмът се нарича десетичен логаритъм, обикновен логаритъм, Бригс или просто обикновен логаритъм.
И ако се използва числото e, тогава той се нарича естествен логаритъм, след Джон Напиер, шотландския математик, открил логаритми.
Нотацията, използвана за всеки от тях, е следната:
-Дециален логаритъм: log 10 x = log x
-Неперийски логаритъм: ln x
Когато ще се използва друга база, е абсолютно необходимо да се посочи като подпис, тъй като логаритъмът на всяко число е различен в зависимост от базата, която ще бъде използвана. Например, ако това е логаритми в база 2, напишете:
y = log 2 x
Нека разгледаме логаритъма на числото 10 в три различни основи, за да илюстрираме тази точка:
лог 10 = 1
ln 10 = 2,30259
лог 2 10 = 3.32193
Общите калкулатори носят само десетични логаритми (лог функция) и естествен логаритъм (функция ln). В Интернет има калкулатори с други бази. Във всеки случай, читателят може да провери с негова помощ, че предишните стойности са удовлетворени:
10 1 = 10
e 2.3026 = 10.0001
2 3.32193 = 10.0000
Малките десетични разлики се дължат на броя на десетичните знаци, взети при изчисляването на логаритъма.
Предимствата на логаритмите
Сред предимствата на използването на логаритми е лекотата, която те предоставят за работа с големи числа, като използват логаритъм вместо числото директно.
Това е възможно, тъй като функцията на логаритъм расте по-бавно с увеличаването на числата, както виждаме на графиката.
Така че дори и при много големи числа, логаритмите им са много по-малки, а манипулирането на малки числа винаги е по-лесно.
В допълнение, логаритмите имат следните свойства:
- Продукт: log (ab) = log a + log b
- Коефициент: log (a / b) = log a - log b
- Мощност: log a b = b.log a
По този начин продуктите и коефициентите се превръщат в допълнения и изваждания от по-малки числа, докато овластяването се превръща в обикновен продукт, въпреки че мощността е висока.
Ето защо логаритмите ни позволяват да изразим числа, които варират в много големи диапазони от стойности, като интензитета на звука, pH на разтвора, яркостта на звездите, електрическото съпротивление и интензивността на земетресенията по скалата на Рихтер.
Фигура 2. Логаритмите се използват по скалата на Рихтер за количествено определяне на силата на земетресенията. Изображението показва срутена сграда в Консепсион, Чили, по време на земетресението през 2010 г. Източник: Wikimedia Commons.
Да видим пример за боравене със свойствата на логаритмите:
пример
Намерете стойността на x в следния израз:
Отговор
Тук имаме логаритмично уравнение, тъй като неизвестното е в аргумента на логаритма. Той се решава, като се остави по един логаритъм от всяка страна на равенството.
Започваме с поставянето на всички термини, които съдържат „х“ вляво от равенството, и тези, които съдържат само числа отдясно:
log (5x + 1) - log (2x-1) = 1
Вляво имаме изваждането на две логаритми, които могат да бъдат написани като логаритъм на коефициент:
log = 1
Вдясно обаче е числото 1, което можем да изразим като лог 10, както видяхме по-рано. Така:
log = лог 10
За да е равенство, аргументите на логаритмите трябва да са равни:
(5x + 1) / (2x-1) = 10
5x + 1 = 10 (2x - 1)
5x + 1 = 20 x - 10
-15 х = -11
x = 11/15
Упражнение за приложение: скалата на Рихтер
През 1957 г. в Мексико се случи земетресение, чийто магнитуд беше 7,7 по скалата на Рихтер. През 1960 г. в Чили се случи друго земетресение с по-голяма степен от 9,5.
Изчислете колко пъти земетресението в Чили е било по-интензивно от това в Мексико, като знаете, че магнитудът M R по скалата на Рихтер е даден по формулата:
M R = лог (10 4 I)
Решение
Големината на скалата на Рихтер при земетресение е логаритмична функция. Ще изчислим интензитета на всяко земетресение, тъй като имаме магнитудите на Рихтер. Нека го направим стъпка по стъпка:
- Мексико: 7.7 = лог (10 4 I)
Тъй като обратната на логаритъмната функция е експоненциална, ние прилагаме това от двете страни на равенството с намерението да се реши за I, което се намира в аргумента на логаритма.
Тъй като те са десетични логаритми, основата е 10. След това:
10 7.7 = 10 4 I
Интензитетът на земетресението в Мексико беше:
I M = 10 7.7 / 10 4 = 10 3.7
- Чили: 9.5 = лог (10 4 I)
Същата процедура ни води до интензивността на земетресението в Чили I I Ch:
I Ch = 10 9,5 / 10 4 = 10 5,5
Сега можем да сравним и двете интензивности:
I Ch / I M = 10 5,5 / 10 3,7 = 10 1,8 = 63,1
I Ch = 63,1. I M
Земетресението в Чили беше около 63 пъти по-интензивно от това в Мексико. Тъй като величината е логаритмична, тя расте по-бавно от интензитета, така че разлика от 1 в величината, означава 10 пъти по-голяма амплитуда на сеизмичната вълна.
Разликата между магнитудите и на двете земетресения е 1,8, следователно можем да очакваме разлика в интензитетите по-близо до 100, отколкото до 10, както всъщност се случи.
Всъщност, ако разликата беше точно 2, чилийското земетресение щеше да е 100 пъти по-интензивно от мексиканското.
Препратки
- Карена, М. 2019. Предуниверситетско ръководство по математика. Националният университет на Литорала.
- Figuera, J. 2000. Математика 1-ви. Диверсифицирана година. CO-BO издания.
- Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
- Larson, R. 2010. Изчисляване на променлива. 9-ти. Edition. McGraw Hill.
- Stewart, J. 2006. Precalculus: Mathematics for Calculus. 5-ти. Edition. Учене в Cengage.