ТРАНСЦЕНДЕНТНИ ФУНКЦИИ: ВИДОВЕ, ДЕФИНИЦИЯ, СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Най- елементарни функции трансцендентни са exponentials, логаритмична, тригонометрични, обратните тригонометрични функции, хиперболичен и обратния хиперболичен функции. Тоест, те са тези, които не могат да бъдат изразени с полином, коефициент на полиноми или корени на полиноми.

Неелементарните трансцендентни функции са известни също като специални функции и сред тях може да се назове функцията за грешка. Алгебраичните функции (полиноми, коефициенти на полиноми и корени на полиноми) заедно с елементарните трансцендентални функции съставляват това, което в математиката е известно като елементарни функции.

Трансцендентните функции също се считат за такива, които са резултат от операции между трансцендентни функции или между трансцендентни и алгебраични функции. Тези операции са: сумата и разликата на функциите, продуктът и коефициентът на функциите, както и състава на две или повече функции.

Определение и свойства

Експоненциална функция

Това е реална функция на реална независима променлива от формата:

f (x) = a ^ x = a ^x

където a е фиксирано положително реално число (a> 0), наречено база. Cirflex или суперскрипт се използват за означаване на потенциращата операция.

Да кажем a = 2, тогава функцията изглежда така:

f (x) = 2 ^ x = 2 ^x

Което ще бъде оценено за няколко стойности на независимата променлива x:

По-долу е показана графика, където експоненциалната функция е представена за няколко стойности на основата, включително база e (номер на Непер e ≃ 2.72). Основата e е толкова важна, че като цяло говорим за експоненциална функция, която мислим за e ^ x, която също се обозначава като exp (x).

Фигура 1. Експоненциална функция a ^ x за различни стойности на база a. (Собствена разработка)

Свойства на експоненциалната функция

От фигура 1 се вижда, че областта на експоненциалните функции са реалните числа (Dom f = R), а диапазонът или пътят са положителните реалности (Ran f = R ⁺).

От друга страна, независимо от стойността на базата a, всички експоненциални функции преминават през точката (0, 1) и през точката (1, a).

Когато базата a> 1, функцията се увеличава и когато 0 <a <1 функцията намалява.

Кривите на y = a ^ x и y = (1 / a) ^ x са симетрични по отношение на оста Y.

С изключение на случая a = 1, експоненциалната функция е инжекционна, тоест на всяка стойност на изображението съответства една и само една начална стойност.

Логаритмична функция

Това е реална функция на реална независима променлива, основана на дефиницията на логаритъм на число. Логаритъмът, базиран на число x, е числото y, на което трябва да се повдигне базата, за да се получи аргументът x:

регистрирайте _a (x) = y ⇔ a ^ y = x

Тоест, базираната на логаритъмната функция е обратната функция на експоненциалната функция, базирана на.

Например:

лог ₂ 1 = 0, тъй като 2 ^ 0 = 1

Друг случай, лог ₂ 4 = 2, защото 2 ^ 2 = 4

Коренният логаритъм на 2 е log ₂ √2 = ½, защото 2 ^ ½ = √2

лог ₂ ¼ = -2, тъй като 2 ^ (- 2) = ¼

По-долу е представена графика на функцията на логаритъм в различни бази.

Фигура 2. Експоненциална функция за различни стойности на базата. (Собствена разработка)

Свойства на функцията на логаритъм

Областта на логаритъмната функция y (x) = log a (x) са положителните реални числа R +. Обхватът на пътуване или са реални числа R.

Независимо от основата, функцията на логаритъм винаги преминава през точката (1,0) и точката (a, 1) принадлежи към графиката на тази функция.

В случай, че базата a е по-голяма от единство (a> 1), функцията на логаритъм се увеличава. Но ако (0 <a <1), то това е намаляваща функция.

Функции на синус, косинус и тангента

Синусовата функция присвоява реално число и на всяка стойност x, където x представлява мярката на ъгъл в радиани. За да се получи стойността на Sen (x) на ъгъл, ъгълът се представя в единичния кръг, а проекцията на споменатия ъгъл върху вертикалната ос е синусът, съответстващ на този ъгъл.

Тригонометричният кръг и синус за различни ъглови стойности X1, X2, X3 и X4 са показани по-долу (на фигура 3).

Фигура 3. Тригонометричен кръг и синусът на различни ъгли. (Собствена разработка)

Определена по този начин, максималната стойност, която може да има функцията Sen (x), е 1, която възниква, когато x = π / 2 + 2π n, където n е цяло число (0, ± 1, ± 2,). Минималната стойност, която може да приеме функцията Sen (x), възниква, когато x = 3π / 2 + 2π n.

Косинусната функция y = Cos (x) е дефинирана по подобен начин, но проекцията на ъглови положения P1, P2 и т.н. се извършва на хоризонталната ос на тригонометричния кръг.

От друга страна, функцията y = Tan (x) е коефициентът между синусната функция и косинусната функция.

По-долу е представена графика на трансцендентните функции Sen (x), Cos (x) и Tan (x)

Фигура 4. Графика на трансцендентните функции, синус, косинус и тангента. (Собствена разработка)

Производни и интеграли

Производно на експоненциалната функция

Производното y 'на експоненциалната функция y = a ^ x е функцията a ^ x, умножена по естествения логаритъм на база a:

y '= (a ^ x)' = a ^ x ln a

В конкретния случай на база e, производната на експоненциалната функция е самата експоненциална функция.

Интеграл на експоненциалната функция

Неопределеният интеграл на ^ x е самата функция, разделена на естествения логаритъм на основата.

В конкретния случай на база e, интегралът на експоненциалната функция е самата експоненциална функция.

Таблица на производни и интеграли на трансцендентни функции

По-долу е обобщена таблица на основните трансцендентни функции, техните производни и неопределени интеграли (антидеривати):

Таблица на производни и неопределени интеграли за някои трансцендентни функции. (Собствена разработка)

Примери

Пример 1

Намерете функцията, произтичаща от състава на функцията f (x) = x ^ 3 с функцията g (x) = cos (x):

(мъгла) (x) = f (g (x)) = cos ³ (x)

Нейното производно и неопределеният му интеграл е:

Пример 2

Намерете състава на функцията g с функцията f, където g и f са функциите, дефинирани в предишния пример:

(gof) (x) = g (f (x)) = cos (x ³)

Трябва да се отбележи, че съставът на функциите не е комутативна операция.

Производната и неопределеният интеграл за тази функция са съответно:

Интегралът беше оставен указан, тъй като не е възможно да се запише резултатът като комбинация от елементарни функции точно.

Препратки

1. Изчисляване на единична променлива. Рон Ларсън, Брус Х. Едуардс. Cengage Learning, 10 ноември 2008
2. Теорема за имплицитната функция: История, теория и приложения. Стивън Г. Кранц, Харолд Р. Паркс. Springer Science & Business Media, 9 ноември. 2012
3. Многопроменен анализ. Сатиш Ширали, Харкришан Лал Васудева. Springer Science & Business Media, 13 декември. 2010
4. Динамика на системата: Моделиране, симулация и управление на мехатронни системи. Дийн К. Карноп, Доналд Л. Марголис, Роналд К. Розенберг. John Wiley & Sons, 7 март 2012
5. Изчисление: Математика и моделиране. Уилям Боулди, Джоузеф Р. Фидлер, Франк Р. Джордано, Ед Лоди, Рик Витрай. Адисън Уесли Лонгман, 1 януари 1999
6. Уикипедия. Трансцендентна функция. Възстановено от: es.wikipedia.com