ЕВКЛИДОВА ГЕОМЕТРИЯ: ИСТОРИЯ, ОСНОВНИ ПОНЯТИЯ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На Euclidean геометрия отговаря на изследването на свойствата на геометрични пространства, където са изпълнени аксиоми Евклид. Въпреки че понякога този термин се използва за покриване на геометрии, които имат по-високи размери с подобни свойства, той обикновено е синоним на класическа геометрия или геометрия на равнината.

През III век a. В. Евклид и неговите ученици написаха Елементите - работа, която обхващаше математическите знания за времето, надарени с логико-дедуктивна структура. Оттогава геометрията се превръща в наука, първоначално за решаване на класически проблеми и се развива като формираща наука, която помага на разума.

история

За да говорим за историята на евклидовата геометрия, е важно да започнем с Евклид от Александрия и стихиите.

Когато Египет е оставен в ръцете на Птолемей I, след смъртта на Александър Велики той започва проекта си в училище в Александрия.

Сред мъдреците, които преподавали в училището, бил Евклид. Спекулира се, че неговото раждане датира от приблизително 325 г. пр.н.е. В. и смъртта му на 265 a. В. Можем да знаем със сигурност, че той е ходил в училището на Платон.

Повече от тридесет години Евклид преподава в Александрия, изграждайки своите известни елементи: той започва да пише изчерпателно описание на математиката на своето време. Учението на Евклид даде отлични ученици като Архимед и Аполоний от Перга.

Евклид беше отговорен за структурирането на различни открития на древните гърци в Елементите, но за разлика от предшествениците си, той не се ограничава да потвърди, че една теорема е вярна; Евклид предлага демонстрация.

Елементите е сборник от тринадесет книги. След Библията тя е най-издадената книга, с повече от хиляда издания.

Елементи на Евклид

Елементите е шедьовър на Евклид в областта на геометрията и предлага окончателно третиране на геометрията на две измерения (равнината) и три измерения (пространство), като това е произходът на това, което сега знаем като евклидова геометрия,

Основни понятия

Елементите са съставени от дефиниции, общи понятия и постулати (или аксиоми), последвани от теореми, конструкции и доказателства.

- Въпросът е този, който няма части.

- Линията е дължина, която няма ширина.

- Правата линия е тази, която лежи еднакво по отношение на точките, които са в нея.

- Ако са отрязани две линии, така че съседните ъгли да са равни, ъглите се наричат ​​прави, а линиите се наричат ​​перпендикулярни.

- Паралелните линии са тези, които, бидейки в една и съща равнина, никога не се пресичат.

След тези и други определения Евклид ни представя списък от пет постулата и пет понятия.

Общи понятия

- Две неща, които са равни на една трета, са равни помежду си.

- Ако към същите неща се добавят едни и същи неща, резултатите са същите.

- Ако от равни неща се извадят равни неща, резултатите са равни.

- Нещата, които съвпадат помежду си, са равни една на друга.

- Общата сума е по-голяма от част.

Постулати или аксиоми

- Една и единствена линия минава през две различни точки.

- Правите линии могат да се удължават за неопределено време.

- Можете да нарисувате кръг с всеки център и всеки радиус.

- Всички прави ъгли са равни.

- Ако права линия пресича две прави линии, така че вътрешните ъгли на една и съща страна да достигнат по-малко от два прави ъгъла, тогава двете линии ще се пресичат от тази страна.

Този последен постулат е известен като паралелен постулат и е преформулиран по следния начин: "За точка извън линия може да се направи единичен паралел на дадената линия."

Примери

На следващо място, някои теореми на Елементите ще служат за показване на свойства на геометрични пространства, където са изпълнени петте постулата на Евклид; Освен това те ще илюстрират логически-дедуктивните разсъждения, използвани от този математик.

Първи пример

Предложение 1.4. (LAL)

Ако два триъгълника имат две страни и ъгълът между тях е равен, тогава другите страни и другите ъгли са равни.

демонстрация

Нека ABC и A'B'C 'са два триъгълника с AB = A'B', AC = A'C 'и ъглите BAC и B'A'C' са равни. Нека да преместим триъгълника A'B'C ', така че A'B' съвпада с AB и този ъгъл B'A'C 'съвпада с ъгъл BAC.

Така че линия A'C 'съвпада с линия AC, така че C' съвпада с C. Тогава, постулат 1, линия BC трябва да съвпада с линия B'C '. Следователно двата триъгълника съвпадат и съответно техните ъгли и страни са равни.

Втори пример

Предложение 1.5. (

Да предположим, че триъгълникът ABC има равни страни AB и AC.

И така, триъгълниците ABD и ACD имат две равни страни, а ъглите между тях са равни. По този начин, по предложение 1.4, ъглите ABD и ACD са равни.

Трети пример

Предложение 1.31

Можете да изградите линия, успоредна на линия, дадена от дадена точка.

Сграда

Като се има предвид линия L и точка P, линия M се начертава през P и се пресича L. След това се изчертава линия N през P, която се пресича L. Сега, линия N се изчертава през P, която се пресича M, образувайки ъгъл, равен на този, който L образува с М.

утвърждаване

N е успореден на L.

демонстрация

Да предположим, че L и N не са успоредни и се пресичат в точка А. Нека B е точка в L отвъд А. Нека разгледаме линията O, която минава през B и P. Тогава, O пресича M под ъгли, които се събират на по-малко от две прави.

Тогава с 1,5 линия O трябва да се пресича линия L от другата страна на M, така че L и O се пресичат в две точки, което противоречи на постулат 1. Следователно L и N трябва да са успоредни.

Препратки

1. Евклид. Елементи на геометрията. Национален автономен университет в Мексико
2. Евклид. Първите шест книги и единадесетата и дванадесетата от елементите на Евклид
3. Евгенио Филой Яг. Дидактика и история на евклидовата геометрия, Grupo Редакция Iberoamericano
4. К. Рибников. История на математиката. Мир редакция
5. Viloria, N., & Leal, J. (2005) Plane Analytical Geometry. Редакция Венезолана Калифорния