- Примери за степен на полином
- Таблица 1. Примери за полиноми и техните степени
- Процедура за работа с полиноми
- Поръчайте, намалете и попълнете полином
- Значение на степента на полином при събиране и изваждане
- Решени упражнения
- - Упражнение разрешено 1
- Решение
- - Упражнение решено 2
- Решение
- Препратки
В степента на полином в променлива е дадено под термина, който има най-голяма експонентата, и ако полином има две или повече променливи, тогава степента се определя от сумата на експонентите на всеки термин, по-голяма сума е степента от полинома.
Нека да видим как да определим степента на полинома по практичен начин.
Фигура 1. Известното уравнение на Айнщайн за енергия Е е моном с абсолютна степен 1 за променливата маса, обозначена с m, тъй като скоростта на светлината c се счита за постоянна. Източник: Piqsels.
Да предположим, че полином P (x) = -5x + 8x 3 + 7 - 4x 2. Този полином е една променлива, в случая това е променливата x. Този полином се състои от няколко термина, които са следните:
И сега какъв е показателят? Отговорът е 3. Следователно P (x) е полином на степен 3.
Ако въпросният полином има повече от една променлива, степента може да бъде:
-Absolute
-В отношение на променлива
Абсолютната степен се открива, както е обяснено в началото: добавяне на показателите на всеки термин и избор на най-големия.
Вместо това, степента на полинома по отношение на една от променливите или буквите е най-голямата стойност на показателя, който посочената буква има. Въпросът ще стане по-ясен с примерите и решаваните упражнения в следващите раздели.
Примери за степен на полином
Полиномите могат да бъдат класифицирани по степен и могат да бъдат първа степен, втора степен, трета степен и така нататък. Например, на фигура 1, енергията е първа степен монома за масата.
Важно е също така да се отбележи, че броят на термините, които полинома има, е равен на степен плюс 1. Така:
-Приномите от първа степен имат 2 члена: a 1 x + a o
-Полиномът от втора степен има 3 термина: a 2 x 2 + a 1 x + a o
-Полином от трета степен има 4 термина: a 3 x 3 + a 2 x 2 + a 1 x + a или
И така нататък. Внимателният читател ще забележи, че полиномите в предишните примери са написани в намаляваща форма, тоест поставяйки термина с най-голяма степен на първо място.
Следващата таблица показва различни полиноми, както на една, така и на няколко променливи и съответните им абсолютни степени:
Таблица 1. Примери за полиноми и техните степени
| полином | степен |
|---|---|
| 3x 4 + 5x 3 -2x + 3 | 4 |
| 7x 3 -2x 2 + 3x-6 | 3 |
| 6 | 0 |
| х-1 | един |
| x 5 -bx 4 + abx 3 + ab 3 x 2 | 6 |
| 3x 3 и 5 + 5x 2 и 4 - 7xy 2 + 6 | 8 |
Последните два полинома имат повече от една променлива. От тях терминът с най-висока абсолютна степен е подчертан с удебелен шрифт, така че читателят да може бързо да провери степента. Важно е да запомните, че когато променливата няма записан експонент, се разбира, че споменатият експонент е равен на 1.
Например в подчертания термин ab 3 x 2 има три променливи, а именно: a, b и x. В този срок, а се повдига на 1, тоест:
a = a 1
Следователно ab 3 x 2 = a 1 b 3 x 2
Тъй като показателят на b е 3, а този на x е 2, веднага следва, че степента на този термин е:
1 + 3 + 2 = 6
Y е абсолютната степен на полинома, тъй като никой друг термин няма по-висока степен.
Процедура за работа с полиноми
Когато работите с полиноми е важно да обърнете внимание на степента му, тъй като първо и преди да извършите каквато и да е операция е удобно да следвате тези стъпки, в които степента предоставя много важна информация:
-Разредете полинома на предпочитание в намаляваща посока. По този начин терминът с най-висока степен е отляво, а терминът с най-ниската степен е отдясно.
-Намаляване като термини, процедура, която се състои в добавяне на алгебрично всички термини от една и съща променлива и степен, намерени в израза.
-Ако е необходимо, полиномите се попълват, като се вмъкват термини, чийто коефициент е 0, в случай че липсват термини с показател.
Поръчайте, намалете и попълнете полином
Като се има предвид полиномът P (x) = 6x 2 - 5x 4 - 2x + 3x + 7 + 2x 5 - 3x 3 + x 7 -12, се иска да го поръчате в низходящ ред, да намалите сходните термини, ако има такива, и да попълните липсващите термини ако е точен.
Първото нещо, което трябва да се търси, е терминът с най-голям показател, който е степента на полинома, който се оказва:
х 7
Следователно P (x) е от степен 7. Тогава полинома се подрежда, като се започне с този термин отляво:
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 - 2x + 3x + 7 -12
Сега се намаляват подобни термини, които са следните: - 2x и 3x от една страна. И 7 и -12 от друга. За да ги намалите, коефициентите се добавят алгебрично и променливата се оставя непроменена (ако променливата не се появи до коефициента, не забравяйте, че x 0 = 1):
-2x + 3x = x
7 -12 = -5
Заменете тези резултати с P (x):
P (x) = x 7 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x -5
И накрая полиномът се изследва, за да се види дали някой експонент липсва и наистина, термин, чийто показател е 6, липсва, следователно е завършен с нули като този:
P (x) = x 7 + 0x 6 + 2x 5 - 5x 4 - 3x 3 + 6x 2 + x - 5
Сега се наблюдава, че полиномът е оставен с 8 члена, тъй като както беше казано преди, броят на термините е равен на степен + 1.
Значение на степента на полином при събиране и изваждане
С полиноми можете да извършвате операции на събиране и изваждане, при които се добавят или изваждат само подобни термини, които са тези със същата променлива и една и съща степен. Ако няма подобни термини, просто се посочва добавянето или изваждането.
След като се извърши събирането или изваждането, като последният е сумата от обратното, степента на получения полином винаги е равна или по-малка от степента на полинома, прибавящ най-високата степен.
Решени упражнения
- Упражнение разрешено 1
Намерете следната сума и определете нейната абсолютна степен:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3
Решение
Това е полином с две променливи, така че е удобно да се намалят сходните термини:
a 3 - 8ax 2 + x 3 + 5a 2 x - 6ax 2 - x 3 + 3a 3 - 5a 2 x - x 3 + a 3 + 14ax 2 - x 3 =
= a 3 + 3a 3 + a 3 - 8ax 2 - 6ax 2 + 14ax 2 + 5a 2 x - 5a 2 x + x 3 - x 3 - x 3 - x 3 =
= 5a 3 - 2x 3
И двата термина са на степен 3 във всяка променлива. Следователно абсолютната степен на полинома е 3.
- Упражнение решено 2
Изразете областта на следната равнинна геометрична фигура като полином (фигура 2 вляво). Каква е степента на получения полином?
Фигура 2. Вляво, фигурата за решеното упражнение 2, а вдясно, същата фигура се разложи на три области, чийто израз е известен. Източник: Ф. Сапата.
Решение
Тъй като това е област, полученият полином трябва да е на степен 2 в променливата x. За да се определи подходящ израз за областта, фигурата се разлага на известни области:
Площта на правоъгълник и триъгълник са съответно: основа х височина и основа х височина / 2
A 1 = x. 3x = 3x 2; A 2 = 5. x = 5x; A 3 = 5. (2x / 2) = 5x
Забележка: основата на триъгълника е 3x - x = 2x и височината му е 5.
Сега се прибавят трите получени израза, като с това имаме областта на фигурата като функция на x:
3x 2 + 5x + 5x = 3x 2 + 10x
Препратки
- Балдор, А. 1974. Елементарна алгебра. Културна Венезолана SA
- Хименес, Р. 2008. Алгебра. Prentice Hall.
- Уикикниги. Полиноми. Възстановени от: es. wikibooks.org.
- Wikipedia. Степен (полином). Възстановено от: es.wikipedia.org.
- Zill, D. 1984. Алгебра и тригонометрия. Mac Graw Hill.