ХЕПТАДЕКАГОН: СВОЙСТВА, ДИАГОНАЛИ, ПЕРИМЕТЪР, ПЛОЩ - МАТЕМАТИКА - 2025

В heptadecagon е правилен многоъгълник с 17 страни и 17 върхове. Конструкцията му може да се извърши в евклидовия стил, тоест като се използват само владетелят и компасът. Големият математически гений Карл Фридрих Гаус (1777-1855 г.), едва 18-годишен, открива процедурата за неговото изграждане през 1796 г.

Явно Гаус винаги е бил много склонен към тази геометрична фигура, до такава степен, че от деня, когато е открил нейната конструкция, той е решил да бъде математик. Говори се също, че той искал хептадекагонът да бъде гравиран върху надгробната му плоча.

Фигура 1. Хептадекагонът е редовен многоъгълник със 17 страни и 17 върха. Източник: Ф. Сапата.

Гаус също намери формулата, за да определи кои правилни многоъгълници имат възможност да бъдат построени с владетел и компас, тъй като някои нямат точна евклидова конструкция.

Характеристики на хептадекагона

Що се отнася до неговите характеристики, като всеки многоъгълник е важна сумата от неговите вътрешни ъгли. В обикновен многоъгълник с n страни сумата се дава от:

Тази сума, изразена в радиани, изглежда така:

От горните формули може лесно да се заключи, че всеки вътрешен ъгъл на хептадекагон има точна мярка α, дадена от:

От това следва, че вътрешният ъгъл е приблизително:

Диагонали и периметър

Диагоналите и периметърът са други важни аспекти. Във всеки многоъгълник броят на диагоналите е:

D = n (n - 3) / 2 и в случая на хептадекагона, като n = 17, тогава имаме този D = 119 диагонали.

От друга страна, ако е известна дължината на всяка страна на хептадекагона, тогава периметърът на правилния хептадекагон се намира просто чрез добавяне на 17 пъти по-голяма дължина или това, което е еквивалентно на 17 пъти дължината d от всяка страна:

P = 17 d

Периметър на хептадекагона

Понякога е известен само радиусът на хептадекагона, така че е необходимо да се разработи формула за този случай.

За тази цел се въвежда концепцията за апотема. Апотема е сегментът, който преминава от центъра на правилния многоъгълник до средната точка на едната страна. Апотемата спрямо едната страна е перпендикулярна на тази страна (виж фигура 2).

Фигура 2. Показани са частите на правилен многоъгълник с радиус r и неговата апотема. (Собствена разработка)

Освен това апотемът е бисектриса на ъгъла с централна върха и страни на две последователни върхове на многоъгълника, което ни позволява да намерим връзка между радиуса r и страната d.

Ако централният ъгъл DOE е деноминиран β и като се вземе предвид, че апотема OJ е бисектриса, имаме EJ = d / 2 = r Sen (β / 2), от който имаме отношение, за да намерим дължината d на страната на многоъгълника известен радиусът му r и централният ъгъл β:

d = 2 r Sen (β / 2)

В случая на хептадекагона β = 360º / 17, имаме:

d = 2 r Sen (180º / 17) ≈ 0,3675 r

Накрая се получава формулата за периметъра на хептадекагона, известен с радиуса му:

P = 34 r Sen (180º / 17) ≈ 6.2475 r

Периметърът на хептадекагон е близо до периметъра на обиколката, която го заобикаля, но стойността му е по-малка, тоест периметърът на описания кръг е Pcir = 2π r ≈ 6.2832 r.

■ площ

За да определим площта на хептадекагона ще се спрем на фигура 2, която показва страните и апотема на правилен многоъгълник с n страни. На тази фигура триъгълникът EOD има площ, равна на основата d (страна на многоъгълника), увеличена с височината a (апотема на многоъгълника), разделена на 2:

EOD площ = (dxa) / 2

И така, като знаем апотема а на хептадекагона и страничната г на същото, неговата площ е:

Площ на хептадекагон = (17/2) (dxa)

Площ, дадена отстрани

За да получите формула за площта на хептадекагона, знаейки дължината на седемнадесетте му страни, е необходимо да се получи връзка между дължината на апотема a и страничната d.

Във връзка с фигура 2 се получава следната тригонометрична връзка:

Tan (β / 2) = EJ / OJ = (d / 2) / a, където β е централният ъгъл DOE. Така апотема a може да се изчисли, ако са известни дължината d на страната на многоъгълника и централния ъгъл β:

a = (d / 2) Котан (β / 2)

Ако този израз е заместен с апотема, във формулата за площта на хептадекагона, получена в предишния раздел, имаме:

Площ на хептадекагон = (17/4) (d ²) Котан (β / 2)

Да бъдеш β = 360º / 17 за хептадекагона, така че най-накрая имаме желаната формула:

Площ на хептадекагон = (17/4) (d ²) Котан (180º / 17)

Площ, дадена на радиуса

В предишните раздели е открита връзка между страната d на правилен многоъгълник и неговия радиус r, като тази връзка е следната:

d = 2 r Sen (β / 2)

Този израз за d се вмъква в израза, получен в предишния раздел за областта. Ако се направят съответните замествания и опростявания, се получава формулата, която позволява да се изчисли площта на хептадекагона:

Площ на хептадекагона = (17/2) (r ²) Sen (β) = (17/2) (r ²) Sen (360º / 17)

Приблизителен израз за областта е:

Площ на хептадекагон = 3.0706 (r ²)

Както се очаква, тази площ е малко по-малка от площта на окръжността, описваща хептадекагона A _circ = π r ² ≈ 3.1416 r ². За да бъдем точни, тя е с 2% по-малка от тази на описания й кръг.

Примери

Пример 1

За да отговорите на въпроса е необходимо да запомните връзката между страната и радиуса на правилен n-sided многоъгълник:

d = 2 r Sen (180º / n)

За хептадекагона n = 17, така че d = 0,3675 r, тоест радиусът на хептадекагона е r = 2 cm / 0,3675 = 5,4423 cm или

10.8844 см в диаметър.

Периметърът на 2-сантиметров страничен хептадекагон е P = 17 * 2 cm = 34 cm.

Пример 2

Трябва да се позовем на формулата, показана в предишния раздел, която ни позволява да намерим площта на хептадекагон, когато има дължината d от неговата страна:

Площ на хептадекагон = (17/4) (d ²) / Тан (180º / 17)

Заменяйки d = 2 cm в предишната формула, получаваме:

Площ = 90,94 cm

Препратки

1. CEA (2003). Елементи на геометрията: с упражнения и геометрия на компаса. Университет в Меделин.
2. Campos, F., Cerecedo, FJ (2014). Математика 2. Grupo редакционна патрия.
3. Фрийд, К. (2007). Открийте полигони. Бенчмарк образователна компания.
4. Хендрик, В. (2013). Обобщени многоъгълници. Birkhauser.
5. Iger. (SF). Математика Първи семестър Tacaná. Iger.
6. Младши геометрия. (2014). Полигони. Lulu Press, Inc.
7. Милър, Херен и Хорнсби. (2006 г.). Математика: разсъждения и приложения (десето издание). Pearson Education.
8. Патиньо, М. (2006). Математика 5. Редакционен прогрес.
9. Сада, М. 17-страничен редовен многоъгълник с владетел и компас. Възстановено от: geogebra.org
10. Wikipedia. Heptadecagon. Възстановено от: es.wikipedia.com