На линейна интерполация е метод, който произхожда обща Newton интерполация и приближение да се определи за неизвестно стойност, която е между два дадени номера; тоест е намерена междинна стойност. Прилага се и за приблизителни функции, където стойностите f (a) и f (b) са известни и искаме да знаем междинния елемент на f (x).
Има различни видове интерполация, като линейна, квадратна, кубична и с по-високи степени, като най-простият е линейното приближение. Цената, която трябва да се плати с линейна интерполация, е, че резултатът няма да е толкова точен, колкото при приближения, използващи функции от по-високи степени.
дефиниция
Линейната интерполация е процес, който ви позволява да изведете стойност между две добре дефинирани стойности, които могат да бъдат в таблица или в линейна графика.
Например, ако знаете, че 3 литра мляко струват 4 долара и 5 литра струва 7 долара, но искате да знаете каква е стойността на 4 литра мляко, интерполирате, за да определите тази междинна стойност.
метод
За да се оцени междинната стойност на функция, функцията f (x) се апроксимира с помощта на линия r (x), което означава, че функцията варира линейно с «x» за секция «x = a» и «x = b "; тоест, за стойност "x" в интервала (x 0, x 1) и (y 0, y 1), стойността на "y" се дава чрез линията между точките и се изразява със следното отношение:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
За да бъде една интерполация линейна, полиномът на интерполация трябва да бъде от първа степен (n = 1), така че да пасва на стойностите на x 0 и x 1.
Линейната интерполация се основава на сходство на триъгълници, така че, изхождайки геометрично от предишния израз, може да се получи стойността на "y", която представлява неизвестната стойност за "x".
По този начин трябва да:
a = тен Ɵ = (срещуположния крак 1 ÷ съседен крак 1) = (срещуположния крак 2 ÷ съседен крак 2)
Изразен по друг начин, той е:
(y - y 0) ÷ (x - x 0) = (y 1 - y 0) ÷ (x 1 - x 0)
Решавайки за изрази «и» от изразите, имаме:
(y - y 0) * (x 1 - x 0) = (x - x 0) * (y 1 - y 0)
(y - y 0) = (y 1 - y 0) *
По този начин се получава общото уравнение за линейна интерполация:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Като цяло линейната интерполация дава малка грешка в реалната стойност на истинската функция, въпреки че грешката е минимална в сравнение с това, ако интуитивно изберете число, близко до това, което искате да намерите.
Тази грешка възниква при опит да се приближи стойността на крива с права линия; В тези случаи размерът на интервала трябва да бъде намален, за да се направи приблизителното прецизиране.
За по-добри резултати по отношение на сближаването е препоръчително да се използват функции от степен 2, 3 или дори по-високи степени за изпълнение на интерполация. За тези случаи теоремата на Тейлър е много полезен инструмент.
Решени упражнения
Упражнение 1
Броят на бактериите на единица обем, съществуващи в инкубация след х часа, е представен в следната таблица. Искате да знаете какъв е обемът на бактериите за времето от 3,5 часа.
Решение
Референтната таблица не установява стойност, която показва количеството на бактериите за време от 3,5 часа, но има горни и долни стойности, съответстващи на време съответно 3 и 4 часа. По този начин:
x 0 = 3 и 0 = 91
x = 3,5 y =?
x 1 = 4 и 1 = 135
Сега се прилага математическото уравнение, за да се намери интерполираната стойност, която е следната:
y = y 0 + (y 1 - y 0) *.
Тогава съответните стойности се заместват:
y = 91 + (135 - 91) *
y = 91 + (44) *
y = 91 + 44 * 0.5
у = 113.
Така се получава, че за време от 3,5 часа, броят на бактериите е 113, което представлява междинно ниво между обема на бактериите, съществуващи във времената от 3 до 4 часа.
Упражнение 2
Луис има фабрика за сладолед и иска да направи проучване, за да определи доходите, които е имал през август въз основа на направените разходи. Администраторът на компанията прави графика, която изразява тази връзка, но Луис иска да знае:
Какъв е доходът за август, ако е направен разход от 55 000 долара?
Решение
Дадена е графика със стойности на приходите и разходите. Луис иска да знае какъв е доходът за август, ако фабриката е имала разход от 55 000 долара. Тази стойност не се отразява пряко в графиката, но стойностите са по-високи и по-ниски от тази.
Първо се прави таблица, където лесно да се свържат стойностите:
Сега формулата за интерполация се използва за определяне на стойността на y
y = y 0 + (y 1 - y 0) *
Тогава съответните стойности се заместват:
y = 56 000 + (78 000 - 56 000) *
y = 56 000 + (22 000) *
y = 56 000 + (22 000) * (0,588)
y = 56 000 + 12 936
y = $ 68 936.
Ако през август беше направен разход от 55 000 долара, приходите бяха 68 936 долара.
Препратки
- Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
- Harpe, P. d. (2000 г.). Теми в геометричната теория на групата. University of Chicago Press.
- Hazewinkel, M. (2001). Линейна интерполация ", Енциклопедия по математика.
- , JM (1998). Елементи на числени методи за инженерство. UASLP.
- , Е. (2002). Хронология на интерполация: от древна астрономия до съвременна обработка на сигнали и изображения. Протокол на IEEE.
- числово, I. a. (2006 г.). Ксавие Томас, Жорди Куадрос, Лусинио Гонсалес.