На ъгъла с надпис на окръжност е този, който има връх на кръга и нейните лъчи са секущите или допирателни към него. В резултат на това вписаният ъгъл винаги ще бъде изпъкнал или плосък.
На фигура 1 са представени няколко ъгъла, вписани в съответните им обиколки. Ъгълът ∠EDF е вписан чрез върха D на обиколката и двата му лъча =.
В равнобедрен триъгълник ъглите, съседни на основата, са равни, следователно ∠BCO = ∠ABC = α. От друга страна ∠COB = 180º - β.
Имайки предвид сумата от вътрешните ъгли на триъгълника COB, имаме:
α + α + (180º - β) = 180º
От което следва, че 2 α = β, или кое е еквивалентно: α = β / 2. Това е в съответствие с това, което теорема 1 заявява: мярката на вписания ъгъл е половината от централния ъгъл, ако и двата ъгъла подчиняват един и същ акорд.
Демонстрация 1б
Фигура 6. Спомагателна конструкция, която показва, че α = β / 2. Източник: Ф. Сапата с Геогебра.
В този случай имаме вписан ъгъл ∠ABC, в който центърът на окръжността е в ъгъла.
За да докажете теорема 1 в този случай, нарисувайте спомагателния лъч).push ({});
По същия начин, централен ъгъл Р 1 и β 2 са в непосредствена близост до споменатите лъч. По този начин ние имаме същото положение, както е показано 1а, така че може да се каже, че α 2 = β 2 /2 и а 1 = β 1 /2. Както α = α 1 + α 2 и β = β 1 + β 2 имат следователно α = α 1 + α 2 = β 1 /2 + β 2 /2 = (β 1 + β 2) / 2 = β / две.
В заключение α = β / 2, което отговаря на теорема 1.
- Теорема 2
Фигура 7. Вписани ъгли с еднаква мярка α, защото подлагат една и съща дъга A⌒C. Източник: Ф. Сапата с Геогебра.
- Теорема 3
Вписаните ъгли, които изпращат акорди с една и съща мярка, са равни.
Фигура 8. Вписаните ъгли, които изпращат акорди с еднаква мярка, имат еднаква мярка β. Източник: Ф. Сапата с Геогебра.
Примери
- Пример 1
Покажете, че надписаният ъгъл, който подчинява диаметъра, е прав ъгъл.
Решение
Централният ъгъл OBAOB, свързан с диаметъра, е равен ъгъл, чиято мярка е 180º.
Според теорема 1 всеки ъгъл, вписан в обиколката, която подчинява същия акорд (в случая диаметърът), има като мярка половината от централния ъгъл, който подчинява същия акорд, който за нашия пример е 180º / 2 = 90º.
Фигура 9. Всеки вписан ъгъл, който се поддава на диаметър, е прав ъгъл. Източник: Ф. Сапата с Геогебра.
- Пример 2
Линията (BC), допираща към A към обиколката C, определя вписания ъгъл ACBAC (виж фигура 10).
Проверете дали теорема 1 от вписаните ъгли е изпълнена.
Фигура 10. Вписан ъгъл BAC и неговият централен изпъкнал ъгъл AOA. Източник: Ф. Сапата с Геогебра.
Решение
Ъгълът ACBAC е вписан, тъй като върхът му е на обиколката, а страните му [AB) и [AC) са допирни към обиколката, така че определението за вписан ъгъл е изпълнено.
От друга страна, надписаният ъгъл ∠BAC подчинява дъгата A⌒A, която е цялата обиколка. Централният ъгъл, който подлага дъгата A⌒A, е изпъкнал ъгъл, чиято мярка е пълният ъгъл (360 °).
Вписаният ъгъл, който подчинява цялата дъга, измерва половината от свързания централен ъгъл, тоест ∠BAC = 360º / 2 = 180º.
С всичко по-горе се проверява дали този конкретен случай отговаря на теорема 1.
Препратки
- Baldor. (1973). Геометрия и тригонометрия. Централноамериканско културно издателство.
- EA (2003). Елементи на геометрията: с упражнения и геометрия на компаса. Университет в Меделин.
- Геометрия 1-во ЕСО. Ъгли по обиколката. Възстановени от: edu.xunta.es/
- Цялата наука. Предложени упражнения за ъгли в обиколката. Възстановени от: francesphysics.blogspot.com
- Wikipedia. Вписан ъгъл. Възстановено от: es.wikipedia.com