Най видове интеграли, които откриваме в смятане са неопределени интеграли и определени интеграли. Въпреки че определените интеграли имат много повече приложения от неопределените интеграли, е необходимо първо да се научим как да решаваме неопределени интеграли.
Едно от най-атрактивните приложения на определени интеграли е изчисляването на обема на оборота на твърдо вещество. И двата типа интеграли имат еднакви свойства на линейност и също така техниките на интегриране не зависят от типа интеграл.
Твърдо вещество на революцията
Но въпреки че са много сходни, има една основна разлика; при първия тип интеграл резултатът е функция (която не е конкретна), докато при втория тип резултатът е число.
Основни типове интеграли
Светът на интегралите е много широк, но в него можем да различим два основни типа интеграли, които имат голяма приложимост в ежедневието.
1- Неопределени интеграли
Ако F '(x) = f (x) за всички x в областта на f, казваме, че F (x) е антидериват, примитив или интеграл на f (x).
От друга страна, нека отбележим, че (F (x) + C) '= F' (x) = f (x), което означава, че интегралът на дадена функция не е уникален, тъй като давайки различни стойности на константата C, ще получим различни antiderivatives.
Поради тази причина F (x) + C се нарича Индефинитният интеграл на f (x), а C се нарича константа на интегриране и ние го пишем по следния начин
Неопределен интеграл
Както виждаме, неопределеният интеграл на функцията f (x) е семейство от функции.
Например, ако искате да намерите неопределения интеграл на функцията f (x) = 3x², първо трябва да намерите антидериват на f (x).
Лесно е да се види, че F (x) = x³ е антидериват, тъй като F '(x) = 3x². Следователно може да се заключи, че
∫f (x) dx = ∫3x²dx = x³ + C.
2- Определени интеграли
Нека y = f (x) е реална, непрекъсната функция в затворен интервал и нека F (x) е антидериват на f (x). Определеният интеграл на f (x) между границите a и b се нарича числото F (b) -F (a) и се обозначава както следва
Основна теория на смятането
Формулата, показана по-горе, е по-известна като „Основната теория на смятането“. Тук "a" се нарича долната граница, а "b" се нарича горната граница. Както можете да видите, определеният интеграл на дадена функция е число.
В този случай, ако определеният интеграл на f (x) = 3x² се изчисли в интервала, ще бъде получено число.
За да определим това число, избираме F (x) = x³ като антидериват на f (x) = 3x². След това изчисляваме F (3) -F (0), което ни дава резултат 27-0 = 27. В заключение, определеният интеграл на f (x) на интервала е 27.
Може да се отбележи, че ако е избрано G (x) = x³ + 3, тогава G (x) е антидериват на f (x), различен от F (x), но това не влияе на резултата, тъй като G (3) -G (0) = (27 + 3) - (3) = 27. Поради тази причина константата на интеграция не се появява в определените интеграли.
Едно от най-полезните приложения на този тип интеграл е, че той ни позволява да изчислим площта (обема) на плоска фигура (на твърдо вещество на въртене), като установим подходящи функции и граници на интегриране (и ос на въртене).
В рамките на определените интеграли можем да намерим различни разширения на него, като линейни интеграли, повърхностни интеграли, неправилни интеграли, множество интеграли, между другото, всички с много полезни приложения в науката и инженерството.
Препратки
- Casteleiro, JM (2012). Лесно ли се интегрира? Наръчник за самостоятелно проучване. Мадрид: ESIC.
- Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Интегрално смятане (илюстрирано изд.). Мадрид: ESIC редакция.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Математика на прекалкула. Prentice Hall PTR.
- Fleming, W., & Varberg, DE (1989). Прекалкулна математика: подход за решаване на проблеми (2, илюстрирано изд.). Мичиган: зала Prentice.
- Kishan, H. (2005). Интегрално смятане. Атлантически издатели и дистрибутори.
- Purcell, EJ, Varberg, D., & Rigdon, SE (2007). Изчисляване (Девето изд.). Prentice Hall.