ЕМПИРИЧНО ПРАВИЛО: КАК ДА ГО ПРИЛОЖИМ, ЗА КАКВО Е, РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - ДУДА - 2025

А правило е в резултат на практически опит и наблюдение на реалния живот. Например, възможно е да се знае кои видове птици могат да се наблюдават на определени места по всяко време на годината и от това наблюдение може да се установи „правило“, което описва жизнените цикли на тези птици.

В статистиката емпиричното правило се отнася до това как наблюденията са групирани около централна стойност, средна или средна, в единици със стандартно отклонение.

Да предположим, че имаме група от хора със средна височина 1,62 метра и стандартно отклонение от 0,25 метра, тогава емпиричното правило би ни позволило да определим например колко души ще бъдат в интервал от средния плюс или минус едно стандартно отклонение?

Според правилото 68% от данните са повече или по-малко едно стандартно отклонение от средната стойност, тоест 68% от хората в групата ще имат височина между 1,37 (1,62-0,25) и 1,87 (1,62 + 0,25)) метра.

Откъде идва емпиричното правило?

Емпиричното правило е обобщение на теоремата на Чебишев и нормалното разпределение.

Теорема на Чебишев

Теоремата на Чебишев казва, че: за някаква стойност на k> 1 вероятността случайна променлива да лежи между средното минус k пъти от стандартното отклонение и средното плюс k пъти, стандартното отклонение е по-голямо или равно на (1 - 1 / k ²).

Предимството на тази теорема е, че тя се прилага към дискретни или непрекъснати случайни променливи с всяко разпределение на вероятността, но правилото, дефинирано от нея, не винаги е много точно, тъй като зависи от симетрията на разпределението. Колкото по-изкривено е разпределението на случайната променлива, толкова по-малко коригирано е правилото.

Емпиричното правило, дефинирано от тази теорема, е:

Ако k = √2, 50% от данните се казва, че са в интервала:

Ако k = 2, 75% от данните се казва, че са в интервала:

Ако k = 3, 89% от данните се казва, че са в интервала:

Нормална дистрибуция

Нормалното разпределение, или Гаусовата камбана, позволява да се установи емпиричното правило или правило 68 - 95 - 99.7.

Правилото се основава на вероятностите за възникване на произволна променлива в интервали между средното минус едно, две или три стандартни отклонения и средното плюс едно, две или три стандартни отклонения.

Емпиричното правило определя следните интервали:

68,27% от данните са в интервала:

95.45% от данните са в интервала:

99,73% от данните са в интервала:

На фигурата можете да видите как са представени тези интервали и връзката между тях при увеличаване на ширината на основата на графиката.

Емпирично правило. Melikamp Стандартизацията на случайната променлива, тоест изразът на случайната променлива по отношение на z или стандартна нормална променлива, опростява използването на емпиричното правило, тъй като променливата z има средно равно на нула и стандартно отклонение, равно на единица, Следователно, прилагането на емпиричното правило в мащаб на стандартна нормална променлива, z, определя следните интервали:

68,27% от данните са в интервала:

95.45% от данните са в интервала:

99,73% от данните са в интервала:

Как да приложим емпиричното правило?

Емпиричното правило позволява съкратените изчисления при работа с нормално разпределение.

Да предположим, че група от 100 студенти от колежа има средна възраст 23 години, със стандартно отклонение от 2 години. Каква информация позволява емпиричното правило да се получи?

Прилагането на емпиричното правило включва следване на стъпките:

1- Конструирайте интервалите на правилото

Тъй като средната стойност е 23, а стандартното отклонение е 2, то интервалите са:

= =

= =

= =

2- Изчислете броя на учениците във всеки интервал според процентите

(100) * 68,27% = приблизително 68 ученици

(100) * 95.45% = приблизително 95 ученици

(100) * 99,73% = приблизително 100 ученици

3- Възрастовите интервали са свързани с броя на учениците и интерпретират

Поне 68 ученици са на възраст между 21 и 25 години.

Поне 95 ученици са на възраст между 19 и 27 години.

Почти 100 ученици са на възраст между 17 и 29 години.

За какво е правило на палеца?

Емпиричното правило е бърз и практичен начин за анализ на статистическите данни, ставайки все по-надежден, тъй като разпределението наближава симетрията.

Полезността му зависи от сферата, в която се използва, и въпросите, които са представени. Много полезно е да се знае, че възникването на стойности на три стандартни отклонения под или над средното е почти малко вероятно, дори и за променливи на ненормално разпределение, поне 88,8% от случаите са в интервала на три сигми.

В социалните науки като цяло категоричен резултат е диапазонът на средния плюс или минус две сигми (95%), докато във физиката на частиците нов ефект изисква интервал от пет сигми (99,99994%), за да се счита за откритие.

Решени упражнения

Зайци в резервата

В резерват за диви животни се изчислява, че има средно 16 000 зайци със стандартно отклонение от 500 зайци. Ако разпределението на променливата „брой зайци в резервата“ е неизвестно, възможно ли е да се оцени вероятността популацията на зайци да е между 15 000 и 17 000 зайци?

Интервалът може да бъде представен в следните условия:

15000 = 16000 - 1000 = 16000 - 2 (500) = µ - 2 s

17000 = 16000 + 1000 = 16000 + 2 (500) = µ + 2 s

Следователно: =

Прилагайки теоремата на Чебишев, има вероятност поне 0,75, че популацията на зайци в резервата за диви животни е между 15 000 и 17 000 зайци.

Средно тегло на децата в дадена страна

Средното тегло на едногодишните деца в дадена страна обикновено се разпределя със средно 10 килограма и стандартно отклонение от приблизително 1 килограм.

а) Преценете процента на едногодишните деца в страната, които имат средно тегло между 8 и 12 килограма.

8 = 10 - 2 = 10 - 2 (1) = µ - 2 s

12 = 10 + 2 = 10 + 2 (1) = µ + 2 s

Следователно: =

Според емпиричното правило може да се твърди, че 68,27% от едногодишните деца в страната имат тегло между 8 и 12 килограма.

б) Каква е вероятността да откриете едногодишно дете с тегло 7 килограма или по-малко?

7 = 10 - 3 = 10 - 3 (1) = µ - 3 s

Известно е, че 7 килограма тегло представлява стойността µ - 3s, както и известно, че 99,73% от децата са с тегло между 7 и 13 килограма. Това оставя само 0,27% от всички деца за крайности. Половината от тях, 0,135%, са 7 килограма или по-малко, а другата половина, 0,135%, са 11 килограма или повече.

Така че, може да се заключи, че има вероятност 0,00135, че едно дете тежи 7 килограма или по-малко.

в) Ако населението на страната достигне 50 милиона жители и 1-годишните деца представляват 1% от населението на страната, колко едногодишни деца ще тежат между 9 и 11 килограма?

9 = 10 - 1 = µ - s

11 = 10 + 1 = µ + s

Следователно: =

Според емпиричното правило 68,27% от едногодишните в страната са в интервала

В страната има 500 000 едногодишни (1% от 50 милиона), така че 341 350 деца (68,27% от 500 000) тежат между 9 и 11 килограма.

Препратки

1. Абраира, В. (2002). Стандартно отклонение и стандартна грешка. Списание Semergen. Възстановено от web.archive.org.
2. Freund, R.; Wilson, W.; Mohr, D. (2010). Статистически методи. Трето изд. Academic Press-Elsevier Inc.
3. Alicante сървър (2017). Емпирично правило (Статистически термини). Възстановени от glosarios.servidor-alicante.com.
4. Lind, D.; Marchal, W.; Wathen, S. (2012). Статистика, прилагана за бизнеса и икономиката. Петнадесето изд. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
5. Salinas, H. (2010). Статистика и вероятности. Възстановени от uda.cl.
6. Сокал, R.; Rohlf, F. (2009). Въведение в биостатистиката. Второ изд. Публикации на Dover, Inc.
7. Шпигел, М. (1976). Вероятност и статистика. Серия Schaum. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
8. Шпигел, М.; Stephens, L. (2008). Статистика. Четвърто изд. McGraw-Hill / Interamericana de México SA
9. Преглед на stat119 (2019). Решаване на въпроси за емпирично правило. Възстановени от stat119review.com.
10. (2019). 68-95-99.7 правило. Възстановено от en.wikipedia.org.