АКСИАЛНА СИМЕТРИЯ: СВОЙСТВА, ПРИМЕРИ И УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2024

Най- аксиална симетрия е, когато точките на цифра, съвпадат с точките на друга фигура от права ъглополовяща наречени ос на симетрия. Нарича се още радиална, ротационна или цилиндрична симетрия.

Обикновено се прилага в геометрични фигури, но лесно се наблюдава в природата, тъй като има животни като пеперуди, скорпиони, калинки или хора, които имат аксиална симетрия.

На тази снимка на силуета на града в Торонто и отражението му във водата е изложена аксиална симетрия. (Източник: pixabay)

Как да намерите аксиален симетричен

За да намерите аксиалната симетрия P 'на точка P по отношение на права (L), се извършват следните геометрични операции:

1.- Перпендикулярът на линията (L), която преминава през точка P.

2.- Прихващането на двете линии определя точка О.

3.- Измерва се дължината на сегмента PO, след което тази дължина се копира върху линията (PO), започваща от O в посока от P до O, определяйки точката P '.

4.- Точка P 'е аксиална симетрична на точка P по отношение на оста (L), тъй като линията (L) е бисектриса на сегмента PP', представляваща O средната точка на споменатия сегмент.

Фигура 1. Две точки P и P 'са аксиално симетрични на оста (L), ако споменатата ос е бисектриса на сегмента PP'

Свойства на аксиалната симетрия

- Аксиалната симетрия е изометрична, т. Е. Запазени са разстоянията на геометрична фигура и съответстващата й симетрия.

- Мярката на ъгъл и неговата симетричност са равни.

- аксиалната симетрия на точка по оста на симетрията е самата точка.

- Симетричната линия на линия, успоредна на оста на симетрия, също е линия, успоредна на споменатата ос.

- Секантната линия към оста на симетрия има като симетрична линия друга секантна линия, която от своя страна пресича оста на симетрия в същата точка на първоначалната линия.

- Симетричното изображение на линия е друга линия, която образува ъгъл с оста на симетрия със същата мярка като тази на оригиналната линия.

- Симетричното изображение на линия, перпендикулярна на оста на симетрия, е друга линия, която се припокрива с първата.

- Линия и нейната аксиална симетрична линия образуват ъгъл, чийто бисектриса е оста на симетрия.

Фигура 2. Аксиалната симетрия запазва разстоянията и ъглите.

Примери за аксиална симетрия

Природата показва изобилие от примери на аксиална симетрия. Например, можете да видите симетрията на лица, насекоми като пеперуди, отражението върху спокойните водни повърхности и огледала или листата на растенията, наред с много други.

Фигура 3. Тази пеперуда проявява близо до перфектна аксиална симетрия. (Източник: pixabay)

Фигура 4. Лицето на това момиче има аксиална симетрия. (Източник: pixabay)

Упражнения на аксиална симетрия

Упражнение 1

Имаме триъгълника от върхове A, B и C, чиито декартови координати са съответно A = (2, 5), B = (1, 1) и C = (3,3). Намерете декартовите координати на триъгълника, симетричен около оста Y (ординатна ос).

Решение: Ако точка P има координати (x, y), тогава нейната симетрична около ординатната ос (ос Y) е P '= (- x, y). С други думи, стойността на неговия абсцис се променя знака, докато стойността на ординатата остава същата.

В този случай симетричният триъгълник с върхове A ', B' и C 'ще има координати:

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) и C' = (- 3, 3), както може да се види на фигура 6.

Фигура 6. Ако една точка има координати (x, y), нейната симетрична по отношение на оста Y (ординатна ос) ще има координати (-x, y).

Упражнение 2

По отношение на триъгълника ABC и симетричния му A'B'C 'от упражнение 1, проверете дали съответните страни на първоначалния триъгълник и неговата симетрична имат еднаква дължина.

Решение: За да намерим разстоянието или дължината на страните, използваме евклидовата формула на разстоянието:

d (A, B) = √ ((Bx - Ax) ^ 2 + (By - Ay) ^ 2) = √ ((1-2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((- 1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

Дължината на съответната симетрична страна A'B 'се изчислява по-долу:

d (A ', B') = √ ((Bx'-Ax ') ^ 2 + (By'-Ay') ^ 2) = √ ((- 1 + 2) ^ 2 + (1-5) ^ 2) = √ ((1) ^ 2 + (-4) ^ 2) = √ (17) = 4.123

По този начин се проверява, че аксиалната симетрия запазва разстоянието между две точки. Процедурата може да се повтори за другите две страни на триъгълника и неговата симетрична, за да се провери инвариантността по дължина. Например -AC- = -A'C'- = √5 = 2,236.

Упражнение 3

По отношение на триъгълник ABC и неговия симетричен A'B'C 'от упражнение 1, проверете дали съответните ъгли на първоначалния триъгълник и неговата симетрия имат еднаква ъглова мярка.

Решение: За да определим мерките на ъглите BAC и B'A'C ', първо ще изчислим скаларното произведение на векторите AB с AC и след това скаларното произведение на A'B' с A'C '.

Помнете това:

A = (2, 5), B = (1, 1) и C = (3,3)

A '= (- 2, 5); B '= (- 1, 1) и C' = (- 3, 3).

То има:

AB = <1-2, 1-5> и AC = <3-2, 3-5>

по същия начин

A'B ' = <-1 + 2, 1-5> и AC = <-3 + 2, 3-5>

Тогава се намират следните скаларни продукти:

AB⋅AC = <-1, -4> ⋅ <1, -2> = -1⋅1 + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

по същия начин

A'B'⋅A'C ' = <1, -4> ⋅ <-1, -2> = 1⋅ (-1) + (-4) ⋅ (-2) = -1 + 8 = 7

Мярката на ъгъла BAC е:

∡BAC = ArcCos (AB⋅AC / (- AB- ⋅- AC-)) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

По същия начин мярката на ъгъл B'A'C 'е:

∡B'A'C '= ArcCos (A'B'⋅A'C' / (- A'B'- ⋅- A'C'-)) =

ArcCos (7 / (4,123⋅2,236)) = 40,6º

Заключение, че аксиалната симетрия запазва мярката на ъглите.

Упражнение 4

Нека точка P да е с координати (a, b). Намерете координатите на неговата аксиална симетрия P 'по отношение на линията y = x.

Решение: Ще наречем (a ', b') координатите на симетричната точка P 'по отношение на линията y = x. Междинната точка M на сегмента PP 'има координати ((a + a') / 2, (b + b ') / 2) и също е на линията y = x, така че следва следното равенство:

a + a '= b + b'

От друга страна, сегментът PP 'има наклон -1, тъй като е перпендикулярен на линията y = x с наклон 1, така че следва следното равенство:

b - b '= a' -a

Решавайки за двете предишни равенства a 'и b', се заключава, че:

a '= от това b' = a.

Тоест, имайки предвид точка P (a, b), нейната аксиална симетрия по отношение на линията y = x е P '(b, a).

Препратки

1. Arce M., Blázquez S и др. Трансформации на равнината. Възстановени от: educutmxli.files.wordpress.com
2. Изчисляване cc Аксиална симетрия. Възстановена от: Calculo.cc
3. Superprof. Аксиална симетрия. Възстановени от: superprof.es
4. Уикипедия. Аксиална симетрия. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Уикипедия. Кръгова симетрия. Възстановено от: en.wikipedia.com