ОКТАЛНА СИСТЕМА: ИСТОРИЯ, СИСТЕМА ЗА НОМЕРИРАНЕ, ПРЕОБРАЗУВАНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В осмична система е основа и осем (8) позиционна система за номериране; тоест тя се състои от осем цифри, които са: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 и 7. Следователно всяка цифра на осмото число може да има всякаква стойност от 0 до 7. Окталните числа те се формират от двоични числа.

Това е така, защото основата му е точна мощност от две (2). Тоест числата, които принадлежат към окталната система, се формират, когато са групирани в три последователни цифри, подредени отдясно наляво, като по този начин получават десетичната им стойност.

история

Окталната система има своя произход в древни времена, когато хората са използвали ръцете си, за да преброят животни от осем до осем.

Например, за да преброи броя на кравите в конюшня, човек започна да брои с дясната ръка, свързвайки палеца с малкия пръст; След това, за да преброи второто животно, палецът се съедини с показалеца и така нататък с останалите пръсти на всяка ръка, докато не се навърши 8.

Съществува възможност в древни времена система за броене на осмица да се е използвала преди десетичната, за да може да се броят интердигиталните интервали; тоест, пребройте всички пръсти, освен палците.

По-късно е създадена осмалната система за номериране, която произлиза от двоичната система, тъй като се нуждае от много цифри, за да представлява само едно число; оттам нататък бяха създадени осмични и шестоъгълни системи, които не изискват толкова много цифри и могат лесно да бъдат преобразувани в двоичната система.

Октална система за номериране

Окталната система се състои от осем цифри, които отиват от 0 до 7. Те имат същата стойност като в десетичната система, но относителната им стойност се променя в зависимост от позицията, която заемат. Стойността на всяка позиция се определя от правомощията на база 8.

Позициите на цифрите в октално число имат следните тегла:

8 ⁴, 8 ³, 8 ², 8 ¹, 8 ⁰, осмална точка, 8 ^-1, 8 ^-2, 8 ^-3, 8 ^-4, 8 ^-5.

Най-голямата осмална цифра е 7; по този начин, когато се брои в тази система, позиция на цифра се увеличава от 0 до 7. Когато се достигне 7, тя се рециклира до 0 за следващото броене; по този начин следващата цифрова позиция се увеличава. Например, за да броим последователности, в осмалната система ще бъде:

• 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 10.
• 53, 54, 55, 56, 57, 60.
• 375, 376, 377, 400.

Съществува фундаментална теорема, която се прилага към окталната система и се изразява по следния начин:

В този израз di представлява цифрата, умножена по силата на база 8, която показва стойността на мястото на всяка цифра, по същия начин, както е подредена в десетичната система.

Например, имате числото 543.2. За да го пренесе в осмата система, той се разгражда, както следва:

N = ∑ = (5 * 64) + (4 * 8) + (2 * 1) + (2 * 0,125)

N = 320 +32 + 2 + 0,25 = 354 + 0,25 _d

Така имаме 543,2 _q = 354,25 _d. Индексът q показва, че това е осмично число, което също може да бъде представено с числото 8; и индексът d се отнася до десетичното число, което също може да бъде представено с числото 10.

Преобразуване от осмична в десетична система

За да преобразувате число от окталната система в еквивалента му в десетичната система, просто умножете всяка осмична цифра по нейната стойност на мястото, започвайки отдясно.

Пример 1

732 ₈ = (7 _* 8 ²) + (3 _* 8 ¹) + (2 _* 8 ⁰) = (7 _* 64) + (3 _* 8) + (2 _* 1)

732 ₈ = 448 +24 +2

732 ₈ = 474 ₁₀

Пример 2

26.9 ₈ = (2 _* 8 ¹) + (6 _* 8 ⁰) + (9 _* 8 ^-1) = (2 _* 8) + (6 _* 1) + (9 _* 0.125)

26,9 ₈ = 16 + 6 + 1,125

26,9 ₈ = 23,125 ₁₀

Преобразуване от десетична в осмална система

Десетичното цяло число може да бъде преобразувано в октално число чрез метода на повторното деление, където десетичното цяло число е разделено на 8, докато коефициентът е равен на 0, а остатъците от всяко деление ще представляват октално число.

Остатъците се подреждат от последно до първо; тоест първата остатък ще бъде най-малко значимата цифра от окталното число. По този начин най-значимата цифра ще бъде последната остатък.

пример

Десетичен брой октал 266 ₁₀

- Разделете десетичното число 266 на 8 = 266/8 = 33 + остатък от 2.

- След това разделете 33 на 8 = 33/8 = 4 + остатък от 1.

- Разделете 4 на 8 = 4/8 = 0 + остатък от 4.

Както при последното деление се получава коефициент по-малък от 1, това означава, че резултатът е намерен; Трябва само да поръчате остатъците обратно, по такъв начин, че окталното число на десетичната стойност 266 да е 412, както може да се види на следното изображение:

Преобразуване от осмична в двоична система

Преобразуването от октална в двоична се извършва чрез преобразуване на осмоцифровата цифра в нейната еквивалентна двоична цифра, състояща се от три цифри. Има таблица, която показва как се преобразуват осемте възможни цифри:

От тези преобразувания всяко число от осмалната система в двоично може да бъде променено, например, за да преобразуваме числото 572 _8, търсим неговите еквиваленти в таблицата. По този начин, трябва да:

5 ₈ = 101

7 ₈ = 111

2 ₈ = 10

Следователно, 572 _{8 е} еквивалентен в двоичната система на 10111110.

Преобразуване от двоичен в осмичен

Процесът на преобразуване на двоични цели числа в октални цели е обратен на предишния процес.

Тоест битовете на двоичното число са групирани в две групи от три бита, започвайки от дясно на ляво. След това преобразуването от двоичен в октален става с таблицата по-горе.

В някои случаи двоичното число няма да има групи от 3 бита; за да го завършите, вляво от първата група се добавят една или две нули.

Например, за да промените двоичното число 11010110 на октал, направете следното:

- Групи от 3 бита се формират, започвайки отдясно (последен бит):

11010110

- Тъй като първата група е непълна, се добавя водеща нула:

011010110

- Преобразуването се извършва от таблицата:

011 = 3

010 = 2

110 = 6

По този начин двоичното число 011010110 е равно на 326 ₈.

Преобразуване от осмото в шестнадесетично и обратно

За да промените от октално число към шестнадесетично или от шестнадесетично към октално, е необходимо първо да преобразувате числото в двоично, а след това в желаната система.

За това има таблица, в която всяка шестнадесетична цифра е представена с нейния еквивалент в двоичната система, съставена от четири цифри.

В някои случаи двоичното число няма да има групи от 4 бита; за да го завършите, вляво от първата група се добавят една или две нули

пример

Преобразувайте осмално число 1646 в шестнадесетично число:

- Преобразувайте числото от осмото в двоично

1 ₈ = 1

6 ₈ = 110

4 ₈ = 100

6 ₈ = 110

- И така, 1646 г. ₈ = 1110100110.

- За да преобразувате от двоичен в шестнадесетичен, те първо се подреждат в група от 4 бита, започвайки от дясно на ляво:

11 1010 0110

- Първата група е завършена с нули, така че да може да има 4 бита:

0011 1010 0110

- Преобразуването от двоичен в шестнадесетичен се извършва. Еквивалентите се заместват с помощта на таблицата:

0011 = 3

1010 = A

0110 = 6

Така окталното число 1646 се равнява на 3A6 в шестнадесетичната система.

Препратки

1. Bressan, AE (1995). Въведение в системите за номериране. Аржентински университет на компанията.
2. Харис, JN (1957). Въведение в двоичните и осмичните системи за броене: Лексингтън, Масачузетска агенция за техническа информация.
3. Кумар, АА (2016). Основи на цифровите схеми. Учене на Pvt.
4. Перис, XC (2009). Единични операционни системи.
5. Роналд Дж. Точи, НС (2003). Дигитални системи: принципи и приложения. Pearson Education.