КВАДРАТНИ ПОСЛЕДОВАТЕЛНОСТИ: ПРИМЕРИ, ПРАВИЛА И РЕШЕНИ УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

На квадратичен наследявания, в математически термини, се състоят от последователности на номерата, които следват определен правило аритметика. Интересно е да се знае това правило, за да се определи някой от термините на последователност.

Един от начините за това е да се определи разликата между два последователни термина и да се види дали получената стойност винаги се повтаря. Когато това е така, се казва, че е редовна последователност.

Числовите последователности са начин за организиране на поредици от числа. Източник: pixabay.com

Но ако не се повтори, тогава можете да опитате да проучите разликата между разликите и да видите дали тази стойност е постоянна. Ако е така, то това е квадратична последователност.

Примери за правилни и квадратични последователности

Следните примери помагат да се изясни какво е обяснено досега:

Пример за редовно наследяване

Нека последователността S = {4, 7, 10, 13, 16,……}

Тази последователност, обозначена с S, е безкрайно множество, в случая на цели числа.

Вижда се, че това е правилна последователност, защото всеки термин се получава чрез добавяне на 3 към предишния термин или елемент:

4

4 + 3 = 7

7+ 3 = 10

10+ 3 = 13

13+ 3 = 16

С други думи: тази последователност е редовна, тъй като разликата между следващия и предходния термин дава фиксирана стойност. В дадения пример тази стойност е 3.

Редовните последователности, които се получават чрез добавяне на фиксирано количество към предишния термин, също се наричат ​​аритметични прогресии. И разликата - константа - между последователните термини се нарича съотношение и се обозначава като R.

Пример за нередовна и квадратна последователност

Вижте сега следната последователност:

S = {2, 6, 12, 20, 30,….}

Когато се изчисляват последователни разлики, се получават следните стойности:

6-2 = 4

12-6 = 6

20-12 = 8

30-20 = 10

Разликите им не са постоянни, така че може да се каже, че това е НЕ редовна последователност.

Ако обаче вземем предвид множеството от разлики, имаме друга последователност, която ще бъде обозначена като S _diff:

S _dif = {4, 6, 8, 10,….}

Тази нова последователност наистина е редовна последователност, тъй като всеки термин се получава чрез добавяне на фиксираната стойност R = 2 към предишния. Ето защо можем да потвърдим, че S е квадратична последователност.

Общо правило за изграждане на квадратна последователност

Има обща формула за изграждане на квадратична последователност:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C

В тази формула _Tn е терминът в позиция n на последователността. A, B и C са фиксирани стойности, докато n варира една по една, тоест 1, 2, 3, 4,…

В последователността S от предишния пример A = 1, B = 1 и C = 0. Оттам следва, че формулата, която генерира всички термини, е: T _n = n ² + n

Това означава:

T ₁ = 1 ² + 1 = 2

T ₂ = 2 ² + 2 = 6

T ₃ = 3 ² + 3 = 12

T ₅ = 5 ² + 5 = 30

T _n = n ² + n

Разлика между два последователни термина на квадратична последователност

T _{n + 1} - T _n = -

Развитието на израза чрез забележителен продукт остава:

T _{n + 1} - T _n = A ∙ n ² + A ∙ 2 ∙ n + A + B ∙ n + B + C - A ∙ n ² - B ∙ n - C

Опростявайки го, вие получавате:

T _{n + 1} - T _n = 2 ∙ A ∙ n + A + B

Това е формулата, която дава последователността на разликите S _Dif, която може да бъде написана така:

Dif _n = A ∙ (2n + 1) + B

Където ясно следващият термин е 2 ∙ Понякога предишния. Тоест, съотношението на последователността на разликите S _diff е: R = 2 ∙ A.

Решени са задачите от квадратични последователности

Упражнение 1

Нека последователността S = {1, 3, 7, 13, 21,……}. Определете дали:

i) Редовна ли е или не

ii) Квадратна ли е или не

iii) Тя беше квадратна, последователността на разликите и тяхното съотношение

Отговори

i) Нека изчислим разликата между следните и предишни условия:

3-1 = 2

7-3 = 4

13-7 = 6

21-13 = 8

Можем да потвърдим, че последователността S не е редовна, тъй като разликата между последователните термини не е постоянна.

ii) Последователността на разликите е правилна, тъй като разликата между нейните термини е постоянната стойност 2. Следователно първоначалната последователност S е квадратна.

iii) Вече установихме, че S е квадратна, последователността на разликите е:

S _dif = {2, 4, 6, 8,…} и съотношението му е R = 2.

Упражнение 2

Нека последователността S = {1, 3, 7, 13, 21,……} от предишния пример, където беше проверено, че е квадратна. Определи:

i) Формулата, която определя общия термин T _n.

ii) Проверете третия и петия член.

iii) Стойността на десетия срок.

Отговори

i) Общата формула на T _n е A ∙ n ² + B ∙ n + C. Тогава остава да се знаят стойностите на A, B и C.

Последователността на разликите има съотношение 2. Освен това за всяка квадратична последователност съотношението R е 2 ∙ A, както е показано в предишните раздели.

R = 2 ∙ A = 2, което ни кара да заключим, че A = 1.

Първият член на последователността на разликите S _Dif е 2 и трябва да отговаря на A ∙ (2n + 1) + B, с n = 1 и A = 1, тоест:

2 = 1 ∙ (2 ∙ 1 + 1) + B

решаване за B получаваме: B = -1

Тогава първият член на S (n = 1) е на стойност 1, тоест: 1 = A ∙ 1 ² + B ∙ 1 + C. Както вече знаем, че A = 1 и B = -1, замествайки имаме:

1 = 1 ∙ 1 ² + (-1) ∙ 1 + C

Решавайки за C, получаваме неговата стойност: C = 1.

В обобщение:

A = 1, B = -1 и С = 1

Тогава n-ият термин ще бъде T _n = n ² - n + 1

ii) Третият термин T ₃ = 3 ² - 3 + 1 = 7 и той е проверен. Петата T ₅ = 5 ² - 5 + 1 = 21, която също е проверена.

iii) Десетият срок ще бъде T ₁₀ = 10 ² - 10 + 1 = 91.

Упражнение 3

Последователност на областите за упражнение 3. Източник: собствена разработка.

Фигурата показва последователност от пет фигури. Решетката представлява единица дължина.

i) Определете последователността за площта на фигурите.

ii) Покажете, че това е квадратна последователност.

iii) Намерете областта на фигура №10 (не е показана).

Отговори

i) Последователността S, съответстваща на областта на последователността на фигурите, е:

S = {0, 2, 6, 12, 20,.,,,, }

ii) Последователността, съответстваща на последователните разлики на условията на S, е:

S _{разлика} = {2, 4, 6, 8,.,,,, }

Тъй като разликата между последователните термини не е постоянна, тогава S не е редовна последователност. Остава да разберем дали е квадратна, за което отново правим последователността на разликите, получавайки:

{2, 2, 2,…….}

Тъй като всички термини на последователността се повтарят, се потвърждава, че S е квадратична последователност.

iii) Последователността S _diff е правилна и нейното съотношение R е 2. Използвайки уравнението, показано по-горе R = 2 ∙ A, остава:

2 = 2 ∙ A, което означава, че A = 1.

Вторият термин от последователността на разликите S _Dif е 4, а n-ият член на S _Dif е

A ∙ (2n + 1) + B.

Вторият термин има n = 2. В допълнение, вече е определено, че A = 1, така че използвайки предишното уравнение и заменяйки имаме:

4 = 1 ∙ (2 ∙ 2 + 1) + B

Решавайки за B, получаваме: B = -1.

Известно е, че вторият член на S е на стойност 2 и че той трябва да изпълни формулата на общия термин с n = 2:

T _n = A ∙ n ² + B ∙ n + C; n = 2; A = 1; B = -1; T ₂ = 2

Това ще рече

2 = 1 ∙ 2 ² - 1 ∙ 2 + C

Заключено е, че C = 0, тоест формулата, която дава общия термин на последователността S, е:

T _n = 1 ∙ n ² - 1 ∙ n +0 = n ² - n

Сега петият мандат е проверен:

T ₅ = 5 ² - 5 = 20

iii) Фигура # 10, която не е начертана тук, ще има площта, съответстваща на десетия член на последователността S:

T ₁₀ = 10 ² - 10 = 90

Препратки

1. https://www.geogebra.org