СУМА ОТ КВАДРАТИТЕ НА ДВЕ ПОСЛЕДОВАТЕЛНИ ЧИСЛА - МАТЕМАТИКА - 2025

За да разберете каква е сумата от квадратите на две последователни числа, може да се намери формула, с която е достатъчно да замените участващите числа, за да получите резултата.

Тази формула може да се намери по общ начин, тоест тя може да се използва за всяка двойка последователни числа.

Като казвате „последователни числа“, вие имплицитно казвате, че и двете числа са цели числа. И под „квадратите“ той има предвид квадратурата на всяко число.

Например, ако се вземат предвид числата 1 и 2, техните квадрати са 1² = 1 и 2² = 4, следователно, сборът от квадратите е 1 + 4 = 5.

От друга страна, ако се вземат числата 5 и 6, техните квадратчета са 5² = 25 и 6² = 36, с които сумата на квадратите е 25 + 36 = 61.

Каква е сумата от квадратите на две последователни числа?

Целта сега е да се обобщи какво е направено в предишните примери. За целта е необходимо да се намери общ начин за записване на цяло число и неговото последователно цяло число.

Ако погледнете две последователни цели числа, например 1 и 2, можете да видите, че 2 могат да бъдат записани като 1 + 1. Също така, ако се наблюдават числата 23 и 24, се заключава, че 24 може да се запише като 23 + 1.

За отрицателни цели числа това поведение също може да бъде потвърдено. В действителност, ако се вземат предвид -35 и -36, може да се види, че -35 = -36 + 1.

Следователно, ако е избрано всяко цяло число "n", тогава последователното число на "n" е "n + 1". Така вече е установена връзка между две последователни цели числа.

Каква е сумата от квадратите?

Като се имат предвид две последователни числа "n" и "n + 1", техните квадрати са "n²" и "(n + 1) ²". Използвайки свойствата на забележимите продукти, този последен термин може да бъде написан, както следва:

(n + 1) ² = n² + 2 * n * 1 + 1² = n² + 2n + 1.

И накрая, сборът от квадратите на двете последователни числа се дава чрез израза:

n² + n² + 2n + 1 = 2n² + 2n +1 = 2n (n + 1) +1.

Ако предишната формула е подробна, може да се види, че е достатъчно само да се знае най-малкото цяло число "n", за да се знае каква е сумата от квадратите, тоест е достатъчно да се използва най-малкото от двете цели числа.

Друга перспектива на получената формула е: избраните числа се умножават, след това полученият резултат се умножава по 2 и накрая се добавя 1.

От друга страна, първото добавяне вдясно е четно число, а добавянето на 1 ще доведе до нечетно. Това казва, че резултатът от добавянето на квадратите на две последователни числа винаги ще бъде нечетно число.

Може също да се отбележи, че тъй като се добавят две числа в квадрат, тогава този резултат винаги ще бъде положителен.

Примери

1.- Помислете за цели числа 1 и 2. Най-малкото цяло число е 1. По предишната формула се заключава, че сборът на квадратите е: 2 * (1) * (1 + 1) +1 = 2 * 2 + 1 = 4 + 1 = 5. Което съответства на броя, направени в началото.

2.- Ако се вземат целите числа 5 и 6, тогава сумата от квадратите ще бъде 2 * 5 * 6 + 1 = 60 + 1 = 61, което също съвпада с резултата, получен в началото.

3.- Ако са избрани целите числа -10 и -9, тогава сумата от техните квадрати е: 2 * (- 10) * (- 9) + 1 = 180 + 1 = 181.

4.- Нека целите числа в тази възможност са -1 и 0, тогава сумата от техните квадрати е дадена с 2 * (- 1) * (0) + 1 = 0 +1 = 1.

Препратки

1. Bouzas, PG (2004). Алгебра в гимназията: съвместна работа по математика. Издания на Narcea.
2. Cabello, RN (2007). Сили и корени. Публикувайте книгите си.
3. Cabrera, VM (1997). Изчисление 4000. Редакционен прогрес
4. Гевара, MH (втори). Наборът от цели числа. EUNED.
5. Oteyza, Е. d. (2003 г.). Albegra. Pearson Education.
6. Smith, SA (2000). Алгебра. Pearson Education.
7. Thomson. (2006 г.). Преминаване на GED: Математика. Издателство InterLingua