Сумата на Риман е името, дадено на приблизителното изчисление на определен интеграл, чрез дискретно сумиране с ограничен брой термини. Общо приложение е сближаването на областта на функциите на графика.

Именно германският математик Георг Фридрих Бернхард Риман (1826-1866) пръв предложи строго определение на интеграла на дадена функция в даден интервал. Той го направи известен в статия, публикувана през 1854г.

Фигура 1. Сумата на Риман се определя на функция f и на дял в интервала. Източник: Фани Сапата.

Сумата на Риман е дефинирана във функция y = f (x), като х принадлежи на затворения интервал. На този интервал се прави дял P от n елемента:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Това означава, че интервалът се разделя, както следва:

x _k-1 ≤ t _k ≤ x _k

Фигура 1 графично показва сумата на Риман на функцията f в интервала на дял от четири подинтервала, сивите правоъгълници.

Сумата представлява общата площ на правоъгълниците и резултатът от тази сума числено се доближава до площта под кривата f, между абсцисата x = x _{0 и} x = x ₄.

Разбира се, сближаването с площта под кривата значително се подобрява, тъй като броят на преградите е по-голям. По този начин сумата се сближава до зоната под кривата, когато броят на дяловете клони към безкрайност.

Формули и свойства

Римановата сума на функцията f (x) на дяла:

P = {x ₀ = a, x ₁, x ₂,…, x _n = b}

Определен през интервала, той се дава от:

S (P, f) = ∑ _{k = 1} ⁿ f (t _k) (x _k - x _k-1)

Където t _k е стойност в интервала. В сумата на Риман се използват редовни интервали с ширина Δx = (b - a) / n, където a и b са минималните и максималните стойности на абсцисата, докато n е броят на подразделенията.

В този случай правилната сума на Риман е:

Sd (f, n) = * Δx

Фигура 2. Дясна сума на Риман. Източник: Wikimedia Commons. 09glasgow09.

Докато лявата сума на Риман се изразява като:

Ако (f, n) = * Δx

Фигура 3. Лявата сума на Риман. Източник: Wikimedia Commons. 09glasgow09

Най-накрая централната сума на Риман е:

Sc (f, n) = * Δx

Фигура 4. Междинна сума на Риман. Източник: Wikimedia Commons. 09glasgow09

В зависимост от това къде се намира точката t _k в интервала, сумата на Риман може да надценява или подценява точната стойност на площта под кривата на функцията y = f (x). С други думи, правоъгълниците могат или да стърчат от кривата, или да са малко под нея.

Районът под кривата

Основното свойство на сумата на Риман и от което произлиза нейното значение е, че ако броят на подразделенията се стреми към безкрайност, резултатът от сумата се сближава до определения интеграл на функцията:

Решени упражнения

- Упражнение 1

Изчислете стойността на определения интеграл между a = -2 до b = +2 на функцията:

f (x) = x ²

Използвайте сума на Риман. За да направите това, първо намерете сумата за n редовни дяла на интервала и след това вземете математическата граница за случая, че броят на дяловете клони към безкрайност.

Решение

Това са стъпките, които трябва да следвате:

-На първо място, интервалът на разделяне се определя като:

Δx = (b - a) / n.

-Тогава сумата на Риман вдясно, съответстваща на функцията f (x), изглежда така:

-И след това внимателно се замества в сумирането:

-Следващата стъпка е да отделим обобщенията и да вземем постоянните количества като общ фактор на всяка сума. Необходимо е да се вземе предвид, че индексът е i, следователно числата и термините с n се считат за постоянни:

-Всяка сума се оценява, тъй като за всеки от тях има подходящи изрази. Например, първата от сумите дава n:

-Накрая, интегралът, който трябва да се изчисли, е:

Читателят може да провери дали това е точният резултат, който може да се получи чрез решаване на неопределения интеграл и оценка на границите на интеграция по правилото на Бароу.

- Упражнение 2

Определете приблизително площта под функцията:

е (х) = (1 / √ (2π)) д ^{(-x 2 /2)}

Въведете x = -1 и x = + 1, като използвате централната сума на Риман с 10 дяла. Сравнете с точния резултат и преценете процентната разлика.

Решение

Стъпката или прирастът между две последователни дискретни стойности е:

Δx = (1 - (-1) / 10 = 0,2

Така че дял P, на който са определени правоъгълниците, изглежда така:

P = {-1.0; -0,8; -0,6; -0,4; -0,2; 0,0; 0.2; 0.4; 0.6; 0.8; 1.0}

Но тъй като това, което се иска, е централната сума, функцията f (x) ще бъде оценена в средната точка на подинтервалите, тоест в множеството:

Т = {-0.9; -0,7; -0,5; -0,3; -0,1; 0.1; 0.3; 0,5; 0.7; 0.9}.

(Централната) сума на Риман изглежда така:

S = f (-0.9) * 0.2 + f (-0.7) * 0.2 + f (-0.5) * 0.2 +… + f (0.7) * 0.2 + f (0,9) * 0,2

Тъй като функцията f е симетрична, е възможно сумата да се намали само до 5 члена и резултатът се умножава по две:

S = 2 * 0,2 * {f (0,1) + f (0,3) + f (0,5) + f (0,7) + f (0,9)}

S = 2 * 0,2 * {0,397+ 0,381+ 0,352+ 0,312+ 0,266} = 0,683

Функцията, дадена в този пример, е различна от добре познатата гаусска камбана (нормализирана, със средна стойност равна на нула и стандартно отклонение една). Известно е, че площта под кривата в интервала за тази функция е 0,6827.

Фигура 5. Площ под гаусска камбана, приблизително изчислена от сума на Риман. Източник: Ф. Сапата.

Това означава, че приблизителното решение само с 10 термина съвпада с точното решение на три десетични знака. Процентната грешка между приблизителния и точния интеграл е 0,07%.

Препратки

1. Casteleiro, JM, & Gómez-Álvarez, RP (2002). Интегрално смятане (илюстрирано изд.). Мадрид: ESIC редакция.
2. Unican. История на понятието интеграл. Възстановени от: repositorio.unican.es
3. УИС. Риман сумира. Възстановено от: matematicas.uis.edu.co
4. Wikipedia. Риман сума. Възстановено от: es.wikipedia.com
5. Wikipedia. Риманова интеграция. Възстановено от: es.wikipedia.com