ТЕЛЕСКОПИЧНО СУМИРАНЕ: КАК СЕ РЕШАВА И РЕШАВАТ УПРАЖНЕНИЯТА - МАТЕМАТИКА - 2025

Най сума телескопичните е клон операции числова поредица. Той се занимава с сумирането на елементите от начална стойност до „n“ изрази, чийто аргумент се подчинява на някой от следните модели:

(F _x - F _{x + 1}); (F _{x + 1} - F _x)

Както и:

Източник: Pixabay.com

Те представляват сумиране на елементи, които, когато са разработени, са подложени на отмяна на противоположни термини. Позволява да се определи следното равенство за телескопичните обобщения:

Името му идва от връзката с появата на класически телескоп, който може да бъде сгънат и разгънат, по-специално да промени измерението си. По същия начин телескопичните обобщения, които са безкрайни по природа, могат да бъдат обобщени в опростения израз:

F ₁ - F _{n + 1}

демонстрация

При разработването на сумирането на термините елиминирането на факторите е доста очевидно. Когато за всеки от случаите, в следващата итерация ще се появят противоположни елементи.

Първият случай (F _x - F _{x + 1}) ще бъде взет за пример, тъй като процесът работи по хомоложен начин за (F _{x + 1} –F _x).

При разработването на първите 3 стойности {1, 2, 3} се наблюдава тенденцията на опростяване

X ₁ (F ₁ - F _{1 + 1}) = F ₁ - F ₂

X ₂ (F ₂ - F _{2 + 1}) = F ₂ - F ₃

X ₃ (F ₃ - F _{3 + 1}) = F ₃ - F ₄

Къде при изразяване на сумата от описаните елементи:

X ₁ + X ₂ + X ₃ = F ₁ - F ₂ + F ₂ - F ₃ + F ₃ - F ₄

Наблюдава се, че термините F ₂ и F ₃ са описани заедно с техните противоположности, което прави опростяването им неизбежно. По същия начин се наблюдава, че термините F ₁ и F ₄ се поддържат.

Ако сумата е направена от x = 1 до x = 3, това означава, че елементът F ₄ съответства на общия термин F _{n + 1.}

По този начин демонстрирайки равенство:

Как се решава?

Целта на телескопичните обобщения е да се улесни работата, така че да не е необходимо да се разработва безкраен брой термини или да се опрости някаква верига от добавки, която е твърде дълга.

За нейното разрешаване ще бъде необходимо само да се оценят термините F ₁ и F _{n + 1}. Тези прости замествания представляват крайния резултат от сумирането.

Цялостта на термините няма да бъде изразена, като става необходимо само за демонстриране на резултата, но не и за нормалния процес на изчисление.

Важното е да забележите конвергенцията на числовите серии. Понякога аргументът за сумиране няма да бъде изразен телескопично. В тези случаи прилагането на алтернативни факторинг методи е много често.

Характерният метод на факторизация в телескопичните добавки е този на прости фракции. Това се случва, когато оригинална фракция се разложи на сума от няколко фракции, където телескопичният модел (F _x - F _{x + 1}) или (F _{x + 1} - F _x) може да се наблюдава.

Разлагане на прости фракции

За да се провери конвергенцията на числовите серии, е много често да се трансформират рационални изрази с метода на простата дроб. Целта е да се моделира сюжетът във формата на телескопично сумиране.

Например, следното равенство представлява разлагане на прости фракции:

Когато разработвате числовите серии и прилагате съответните свойства, изразът приема следната форма:

Където се оценява телескопичната форма (F _x - F _{x + 1}).

Процедурата е доста интуитивна и се състои в намиране на стойностите на числителя, които, без да нарушаваме равенството, ни позволяват да отделим продуктите, намерени в знаменателя. Уравненията, които възникват при определянето на тези стойности, се издигат съгласно сравненията между двете страни на равенството.

Тази процедура се наблюдава стъпка по стъпка при разработването на упражнение 2.

история

Съвсем несигурно е да можем да определим историческия момент, в който са представени телескопичните обобщения. Изпълнението му обаче започва да се забелязва през XVII век, в проучванията на числови серии, извършени от Лайбниц и Хюйгенс.

И двамата математици, изследвайки сумирането на триъгълни числа, започват да забелязват тенденции в сближаването на определени серии последователни елементи. Но още по-интересно е началото на моделирането на тези изрази, в елементи, които не е задължително да следват един друг.

Всъщност изразът, използван преди за обозначаване на прости дроби:

Той беше въведен от Хюйгенс и веднага привлече вниманието на Лайбниц. Който с течение на времето би могъл да наблюдава сближаването със стойността 2. Без да знае за това, той приложи телескопичния формат на сумиране.

Упражнения

Упражнение 1

Определете до кой термин се сближава следната сума:

При ръчно разработване на сумата се спазва следния модел:

(2 ³ - 2 ⁴) + (2 ⁴ - 2 ⁵) + (2 ⁵ - 2 ⁶).,,, (2 ¹⁰ - 2 ¹¹)

Когато факторите от 2 ⁴ до 2 ¹⁰ представят положителни и отрицателни части, което прави тяхното отменяне очевидно. Тогава единствените фактори, които няма да бъдат опростени, ще бъдат първата "2 ³ " и последната "2 ¹¹ ".

По този начин при изпълнение на критерия за телескопично сумиране се получава следното:

Упражнение 2

Преобразувайте аргумента в телескопично сумиране на типа и дефинирайте конвергенцията на поредицата:

Както е посочено в изявлението, първото нещо, което трябва да се направи, е да се разложи на прости фракции, за да се рестартира аргументът и да се изрази по телескопичен начин.

Трябва да намерите 2 дроби, чиито знаменатели са съответно "n" и "n + 1", където използваният по-долу метод трябва да получи стойностите на числителя, които отговарят на равенството.

Пристъпваме към дефиниране на стойностите на A и B. Първо добавяме дробите.

Тогава знаменателите се опростяват и се установява линейно уравнение.

В следващата стъпка изразът вдясно се управлява, докато се постигне шаблон, съпоставим с „3“ отляво.

За да се определят уравненията, които ще се използват, трябва да се сравнят резултатите от двете страни на равенството. С други думи, от лявата страна не се наблюдават стойности на променливата n, като по този начин A + B ще трябва да бъде равна на нула.

A + B = 0; A = -B

От друга страна, постоянната стойност A ще трябва да бъде равна на постоянната стойност 3.

A = 3

По този начин.

A = 3 и B = -3

След като стойностите на числителя за прости дроби вече са дефинирани, сумирането се рестартира.

Там, където вече е постигната родовата форма на телескопично сумиране. Телескопичната серия е разработена.

Където, когато се раздели на много голямо число, резултатът ще се доближи и се доближи до нула, наблюдавайки конвергенцията на серията към стойността 3.

Този тип серии не биха могли да бъдат решени по друг начин, поради безкрайния брой повторения, които определят проблема. Този метод, наред с много други, определя рамката на изследването на числови серии, чиято цел е да определи стойностите на конвергенцията или да определи разминаването на тези серии.

Препратки

1. Уроци по безкрайно смятане. Мануел Франко, Мануел Франко Николас, Франсиско Мартинес Гонсалес, Роке Молина Легаз. EDITUM, 1994г.
2. Интегрално смятане: Поредици и серия от функции. Антонио Ривера Фигероа. Групова редакция Патрия, 21 октомври. 2014 година.
3. Курс по смятане и реален анализ. Sudhir R. Ghorpade, Balmohan V. Limaye. Springer Science & Business Media, 5 юни 2006 година.
4. Безкрайна серия. Форт Томлинсън. The Clarendon Press, 1930.
5. Елементи от теорията на безкрайните процеси. Лойд Лерой Smail. McGraw-Hill Book Company, Incorporated, 1923г.