ТЕОРИЯ НА МНОЖЕСТВАТА: ХАРАКТЕРИСТИКИ, ЕЛЕМЕНТИ, ПРИМЕРИ, УПРАЖНЕНИЯ - МАТЕМАТИКА - 2025

В теорията комплект е клон на математическата логика, която е отговорна за изучаване на отношенията между лица, наречени комплекти. Наборите се характеризират с това, че са колекции от предмети от същия характер. Споменатите обекти са елементите на множеството и могат да бъдат: числа, букви, геометрични фигури, думи, представляващи обекти, самите обекти и други.

Джордж Кантор в края на 19 век предлага теорията на множествата. Докато други знатни математици през 20-ти век правят формализацията си: Gottlob Frege, Ernst Zermelo, Bertrand Russell, Adolf Fraenkel и други.

Фигура 1. Веннова диаграма на множествата A, B и тяхното пресичане A⋂ B. (собствена разработка).

Диаграмите на Venn са графичният начин за представяне на набор и той се състои от фигура на затворена равнина, вътре в която са елементите на множеството.

Например на фигура 1 са показани два множества A и B, които имат общи елементи, общи за A и B. Те образуват нов набор, наречен набор от пресичане на A и B, който се записва във формата символично, както следва:

A ∩ B

характеристики

Множеството е примитивно понятие, тъй като в геометрията е концепцията на точка, права или равнина. Няма по-добър начин за изразяване на концепцията от посочване на примери:

Комплект E, оформен от цветовете на знамето на Испания. Този начин на изразяване на множеството се нарича чрез разбиране. Същият набор E, написан чрез разширение, е:

E = {червено, жълто}

В този случай червеното и жълтото са елементи от набор E. Трябва да се отбележи, че елементите са изброени в скоби и не се повтарят. В случая с испанския флаг има три цветни ивици (червено, жълто, червено), две от които се повтарят, но елементите не се повтарят, когато се изрази цялото.

Да предположим, че множеството V, образувано от първите три гласни букви:

V = {a, e, i}

Мощностният набор от V, обозначен с P (V), е множеството от всички множества, които могат да бъдат формирани с елементите на V:

P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}

Видове комплекти

Краен комплект

Това е набор, в който неговите елементи са счетливи. Примери за крайни множества са буквите на испанската азбука, гласните на испанския, планетите на Слънчевата система и други. Броят на елементите в краен набор се нарича неговата кардиналност.

Безкраен набор

Под безкраен набор се разбира всичко, че броят на неговите елементи е неизчислим, тъй като колкото и голям да е броят на елементите му, винаги е възможно да се намерят още елементи.

Пример за безкрайно множество е множеството естествени числа N, което в обширна форма се изразява, както следва:

N = {1, 2, 3, 4, 5,….} Явно е безкраен набор, тъй като колкото и да е голямо естествено число, следващото най-голямо винаги може да бъде намерено в безкраен процес. Ясно е, че кардиналността на един безкраен набор е ∞.

Празен комплект

Това е множеството, което не съдържа никакъв елемент. Празната група V се обозначава с Ø или с двойка ключове без елементи вътре:

V = {} = Ø.

Празният набор е уникален, следователно трябва да е неправилно да се каже „празен набор“, правилната форма е да се каже „празният набор“.

Сред свойствата на празния набор имаме, че той е подмножество на всеки набор:

Ø ⊂ A

Освен това, ако множеството е подмножество на празния набор, тогава задължително споменатият набор ще бъде вакуумът:

A ⊂ Ø ⇔ A = Ø

Единичен комплект

Единица е всеки набор, който съдържа един елемент. Например, наборът от природни спътници на Земята е унитарен набор, чийто единствен елемент е Луната. Множеството B от цели числа, по-малки от 2 и по-големи от нула, има само елемент 1, следователно това е единица.

Бинарен комплект

Наборът е двоичен, ако има само два елемента. Например множеството X, така че x е реално числово решение на x ^ 2 = 2. Този набор от разширение се записва така:

X = {-2, + √2}

Универсален комплект

Универсалният набор е набор, който съдържа други набори от същия тип или характер. Например, универсалният набор от естествени числа е набор от реални числа. Но истинските числа са универсална съвкупност също от цели числа и рационални числа.

Основни елементи

- Връзки между множествата

В монтажите могат да се установят различни видове взаимоотношения между тях и техните елементи. Ако две множества А и В имат абсолютно еднакви елементи помежду си, се установява връзка за равенство, обозначена както следва:

A = B

Ако всички елементи на набор A принадлежат на множество B, но не всички елементи на B принадлежат на A, тогава между тези множества има отношение на включване, което се обозначава така:

A ⊂ B, но B ⊄ A

Горният израз гласи: A е подмножество на B, но B не е подмножество на A.

За да се посочи, че някои или някои елементи принадлежат на даден набор, символът за членство ∈ се използва, например, за да каже, че x елемент или елементи принадлежат към множеството A, се пише символично така:

x ∈ A

Ако елемент не принадлежи към множеството A, това отношение се записва така:

и ∉ A

Съотношението на членство съществува между елементите на множеството и множеството, с единственото изключение на множеството мощност, като мощността е съвкупност или набор от всички възможни набори, които могат да бъдат формирани с елементите на споменатия набор.

Да предположим, че V = {a, e, i}, неговата мощност е P (V) = {{a}, {e}, {i}, {a, e}, {a, i}, {e, i}, {a, e, i}}, в този случай множеството V става елемент от множеството P (V) и може да бъде записано:

V ∈ P (V)

- Свойства на включването

Първото свойство на включване установява, че всеки набор се съдържа в себе си, или с други думи, че той е само подмножество:

A ⊂ A

Другото свойство на включването е транзитивността: ако A е подмножество от B, а B от своя страна е подмножество на C, тогава A е подмножество на C. В символна форма отношението на транзитивност се записва, както следва:

(A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

По-долу е диаграмата на Venn, съответстваща на транзитивността на включването:

Фигура 2. (A ⊂ B) ^ (B ⊂ C) => A ⊂ C

- Операции между множествата

пресичане

Пресичането е операция между две множества, която поражда ново множество, принадлежащо на същия универсален набор като първите две. В този смисъл това е затворена операция.

Символично операцията на пресичане е формулирана така:

A⋂B = {x / x∈A ^ x∈B}

Пример е следният: множеството A от буквите на думата „елементи“ и множеството B от буквите на думата „повторено“, пресечната точка между A и B се записва така:

A⋂B = {e, l, m, n, t, s} ⋂ {r, e, p, t, i, d, o, s} = {e, t, s}. Универсалният набор U от A, от B и също от A⋂B е набор от букви от испанската азбука.

съюз

Съединението на две множества е множеството, образувано от елементите, общи за двата множества, и не-общите елементи на двете множества. Операцията на обединение между множествата се изразява символично така:

A∪B = {x / x∈A vx∈B}

разлика

Работата на разликата на множество A минус B се обозначава с AB. AB е нов набор, образуван от всички елементи, които са в A и които не принадлежат на B. Символично е написано така:

A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Фигура 3. A - B = {x / x ∈ A ^ x ∉ B}

Симетрична разлика

Симетричната разлика е операция между два множества, при която полученият набор е съставен от елементи, които не са общи за двата множества. Симетричната разлика е символично представена така:

A⊕B = {x / x∈ (AB) ^ x∈ (BA)}

Примери

Пример 1

Диаграмата на Venn е графичен начин за представяне на множествата. Например, наборът С от буквите в словото е представен така:

Пример 2

По-долу от диаграмите на Venn е показано, че множеството гласни в думата "set" е подмножество от множеството букви в думата "set".

Пример 3

Множеството Ñ от буквите на испанската азбука е ограничен набор, този набор чрез разширение се записва така:

Ñ = {a, b, c, d, e, f, g, h, i, j, k, l, m, n, ñ, o, p, q, r, s, t, u, v, w, x, y, z} и неговата кардиналност е 27.

Пример 4

Множеството V на гласните на испански е подмножество на множеството Ñ:

Следователно V ⊂ Ñ е ограничен набор.

Крайното множество V в обширна форма се записва така: V = {a, e, i, o, u} и неговата кардиналност е 5.

Пример 5

Като се имат предвид множествата A = {2, 4, 6, 8} и B = {1, 2, 4, 7, 9}, определете AB и BA.

A - B са елементите на A, които не са в B:

A - B = {6, 8}

B - A са елементите на B, които не са в A:

B - A = {1, 7, 9}

Решени упражнения

Упражнение 1

Напишете в символна форма, а също и чрез разширяване на множеството P от дори естествени числа, по-малки от 10.

Решение: P = {x∈ N / x <10 ^ x mod 2 = 0}

P = {2, 4, 6, 8}

Упражнение 2

Да предположим множеството A, образувано от естествените числа, които са фактори 210, и множеството B, образувано от основните естествени числа, по-малко от 9. Определете чрез разширение и двете множества и установете каква връзка има между двете множества.

Решение: За да определим елементите на множеството A, трябва да започнем с намирането на факторите от естественото число 210:

210 = 2 * 3 * 5 * 7

Тогава се записва множеството A:

A = {2, 3, 5, 7}

Сега считаме множеството B, което е праймите по-малко от 9. 2 е равномерно и в същото време е първостепенно, тъй като отговаря на дефиницията за премиум, другите прайми по-малки от 9 са 3, 5 и 7. Така че множеството B е:

B = {2, 3, 5, 7}

Следователно двата множества са равни: A = B.

Упражнение 3

Определете множеството, чиито елементи x са различни от x.

Решение: C = {x / x ≠ x}

Тъй като всеки елемент, число или обект е равен на себе си, множеството C не може да бъде различно от празния набор:

C = Ø

Упражнение 4

Нека множеството N от естествени числа и Z е множеството от цели числа. Определете N ⋂ Z и N ∪ Z.

Решение:

N ⋂ Z = {x ∈ Z / x ≤ 0} = (-∞, 0]

N ∪ Z = Z, защото N ⊂ Z.

Препратки

1. Гаро, М. (2014). Математика: квадратични уравнения: Как се решава квадратично уравнение. Марил Гаро.
2. Haeussler, EF, & Paul, RS (2003). Математика за управление и икономика. Pearson Education.
3. Jiménez, J., Rodríguez, M., Estrada, R. (2005). Математика 1 СЕП. Праг.
4. Preciado, CT (2005). Курс по математика 3-ти. Редакционен прогресо.
5. Математика 10 (2018). „Примери за крайни набори“. Възстановена от: matematicas10.net
6. Wikipedia. Теория на множествата. Възстановено от: es.wikipedia.com