В Бейс теорема е процедура, която ни позволява да изразим условната вероятност за случаен събитие Дадена B, от гледна точка на разпределението на вероятността на събитието А и Б, тъй като разпределението на вероятността от само А.
Тази теорема е много полезна, тъй като благодарение на нея можем да свържем вероятността да възникне събитие А, знаейки, че е настъпило В, с вероятността, че настъпва обратното, тоест, че B се появява с А.
Теоремата на Байес беше сребърно предложение на преподобния Томас Байес, английски богослов от 18 век, който също беше математик. Той е автор на няколко труда в теологията, но в момента е известен с няколко математически трактата, сред които горепосочената теорема на Байес се откроява като основен резултат.
Байес се занимава с тази теорема в документ, озаглавен „Есе за решаване на проблем в доктрината на шансовете“, публикуван през 1763 г. и в който са разработени големи числа. проучвания с приложения в различни области на знанието.
обяснение
Първо, за по-добро разбиране на тази теорема са необходими някои основни понятия на теорията на вероятностите, особено теоремата за умножение за условна вероятност, която гласи, че
За E и A произволни събития на примерно пространство S.
И дефиницията на дяловете, която ни казва, че ако имаме A 1, A 2,…, A n събития от примерно пространство S, те ще образуват дял на S, ако A i са взаимно изключващи се и тяхното обединение е S.
Като се има предвид това, нека B е друго събитие. Така че можем да видим B като
Когато А аз пресича с Б са взаимно изключващи се събития.
И вследствие на това,
След това, прилагайки теоремата за умножение
От друга страна, условната вероятност на Ai, дадена B, се определя от
Замествайки по подходящ начин, имаме това за всеки i
Приложения на теоремата на Байес
Благодарение на този резултат изследователските групи и различни корпорации успяха да подобрят базирани на знанието системи.
Например при изследването на болестите теоремата на Байес може да помогне да се открие вероятността дадена болест да бъде открита в група хора с дадена характеристика, като се вземат за данни глобалните проценти на заболяването и разпространението на споменатите характеристики в както здрави, така и болни хора.
От друга страна, в света на високите технологии, той повлия на големи компании, които разработиха, благодарение на този резултат, софтуер на базата на знания.
Като ежедневен пример имаме асистента на Microsoft Office. Теоремата на Байес помага на софтуера да оцени проблемите, които потребителят представя и да определи какви съвети да предостави, за да може да предложи по-добра услуга според навиците на потребителя.
По-специално тази формула се игнорираше доскоро, това е главно, защото когато този резултат беше разработен преди 200 години, за тях нямаше много практическа употреба. Въпреки това, в наше време, благодарение на големия технологичен напредък, учените са намерили начини да приложат този резултат на практика.
Решени упражнения
Упражнение 1
Компанията за мобилни телефони има две машини A и B. 54% от произведените мобилни телефони са произведени от машина A, а останалите от машина B. Не всички произведени мобилни телефони са в добро състояние.
Делът на дефектните клетъчни телефони, направени от A, е 0,2, а от B - 0,5. Каква е вероятността мобилен телефон от тази фабрика да е дефектен? Каква е вероятността, знаейки, че мобилният телефон е дефектен, той идва от машина A?
Решение
Тук имате експеримент, който се прави на две части; в първата част се случват събитията:
A: клетка, направена от машина А.
Б: клетка, направена от машина Б.
Тъй като машина A произвежда 54% от мобилните телефони, а останалите се произвеждат от машина B, от това следва, че машина B произвежда 46% от мобилните телефони. Дадени са вероятностите на тези събития, а именно:
P (A) = 0,54.
P (B) = 0,46.
Събитията от втората част на експеримента са:
D: дефектен мобилен телефон.
Д: неисправен мобилен телефон.
Както е посочено в изявлението, вероятностите от тези събития зависят от резултата, получен в първата част:
P (DA) = 0,2.
P (DB) = 0,5.
С помощта на тези стойности може да се определи и вероятността на комплементите на тези събития, тоест:
P (EA) = 1 - P (DA)
= 1 - 0,2
= 0,8
и
p (EB) = 1 - P (DB)
= 1 - 0,5
= 0,5.
Сега събитие D може да се запише, както следва:
Използване на теоремата за умножение за резултатите от условната вероятност:
След това е отговорен първият въпрос.
Сега остава само да изчислим P (AD), за който се прилага теорията на Байес:
Благодарение на теоремата на Байес може да се каже, че вероятността мобилен телефон да е направен от машина А, като се знае, че мобилният телефон е дефектен, е 0,319.
Упражнение 2
Три кутии съдържат черни и бели топки. Съставът на всеки от тях е следният: U1 = {3B, 1N}, U2 = {2B, 2N}, U3 = {1B, 3N}.
Една от кутиите е избрана на случаен принцип и топка се изтегля произволно, което се оказва бяло. Коя кутия най-вероятно е избрана?
Решение
Използвайки U1, U2 и U3, ние също ще представим избраното поле.
Тези събития представляват дял на S и се проверява, че P (U1) = P (U2) = P (U3) = 1/3, тъй като изборът на полето е случаен.
Ако B = {изтеглената топка е бяла}, ще имаме P (B-U1) = 3/4, P (B-U2) = 2/4, P (B-U3) = 1/4.
Това, което искаме да получим, е вероятността топката да е извадена от полето Ui, знаейки, че споменатата топка е бяла, т.е. кутия е най-вероятно извличането на бияч топката.
Прилагане на теоремата на Байес към първата от кутиите:
А за другите две:
P (U2-B) = 2/6 и P (U3-B) = 1/6.
След това първата от кутиите е тази с най-голяма вероятност да бъде избрана за извличане на бияч.
Препратки
- Кай Лай Чунг. Елементарна теория за вероятността със стохастични процеси. Springer-Verlag New York Inc
- Kenneth.H. Росен. Дискретна математика и нейните приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
- Пол Л. Майер. Вероятност и статистически приложения. SA ALHAMBRA MEXICANA.
- Д-р Seymour Lipschutz 2000 решени задачи от дискретна математика. McGraw-Hill.
- Д-р Seymour Lipschutz Проблеми с теорията и вероятностите. McGraw-Hill.