В Болцано теорема гласи, че ако една функция е непрекъсната във всяка точка на затворен интервал и се е уверил, че образът на "а" и "б" (в рамките на функцията) имат противоположни знаци, а след това ще има най-малко една точка " c "в отворения интервал (a, b), така че функцията, оценена в" c ", ще бъде равна на 0.
Тази теорема е произнесена от философа, богослова и математика Бернар Болцано през 1850 г. Този учен, роден в днешна Чехия, е един от първите математици в историята, направил официално доказателство за свойствата на непрекъснатите функции.
обяснение
Теоремата на Болцано е известна още като теорема за междинна стойност, която помага при определяне на специфични стойности, по-специално нули, на определени реални функции на реална променлива.
В дадена функция f (x) продължава - това е, че f (a) и f (b) са свързани чрез крива-, където f (a) е под оста x (тя е отрицателна), а f (b) от над оста x (тя е положителна), или обратното, графично ще има точка на прекъсване на оста x, която ще представлява междинна стойност «c», която ще бъде между «a» и «b», и стойността на f (c) ще бъде равен на 0.
Когато графично анализираме теоремата на Болцано, може да се види, че за всяка непрекъсната функция f, определена на интервал, където f (a) * f (b) е по-малко от 0, в рамките на тази функция ще има поне един корен «c» на интервала (a, b).
Тази теорема не установява броя на точките в този отворен интервал, тя само заявява, че има поне 1 точка.
демонстрация
За да се докаже теоремата на Болцано, се приема без загуба на общото, че f (a) <0 и f (b)> 0; по този начин може да има много стойности между "a" и "b", за които f (x) = 0, но трябва да се покаже само една.
Започваме с оценка на f в средната точка (a + b) / 2. Ако f ((a + b) / 2) = 0, доказателството приключва тук; в противен случай тогава f ((a + b) / 2) е положителен или отрицателен.
Избрана е една от половините на интервала, така че признаците на оценяваната функция в крайностите да са различни. Този нов интервал ще бъде.
Сега, ако f, оценено в средната точка на, не е нула, тогава се извършва същата операция като преди; тоест е избрана половината от този интервал, която отговаря на условието на знаците. Нека това е новият интервал.
Ако продължите с този процес, ще имате две последователности {an} и {bn}, така че:
{an} се увеличава и {bn} намалява:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤…. ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Ако изчислите дължината на всеки интервал, ще трябва:
b1-a1 = (ba) / 2.
b2-a2 = (ba) / 2².
….
bn-an = (ba) / 2 ^ n.
Следователно лимитът, когато n се приближава до безкрайността на (bn-an), е равен на 0.
Използвайки това {an} се увеличава и ограничава, а {bn} намалява и ограничава, ние имаме, че съществува стойност «c» такава, че:
a ≤ a1 ≤ a2 ≤… ≤ an ≤….≤ c ≤…. ≤ bn ≤…. ≤ b2 ≤ b1 ≤ b.
Ограничението на a е "c", а границата от {bn} също е "c". Следователно, имайки предвид δ> 0, винаги има "n" такова, че интервалът се съдържа в интервала (c-δ, c + δ).
Сега трябва да се покаже, че f (c) = 0.
Ако f (c)> 0, тогава тъй като f е непрекъснат, съществува ε> 0 такъв, че f е положителен през целия интервал (c - ε, c + ε). Както обаче беше споменато по-горе, има стойност "n" такава, че f променя влизането и освен това се съдържа в (c - ε, c + ε), което е противоречие.
Ако f (c) <0, тогава тъй като f е непрекъснат, съществува ε> 0 такъв, че f е отрицателен през целия интервал (c - ε, c + ε); но съществува стойност "n" такава, че f променя влизането. Оказва се, че тя се съдържа в рамките на (c - ε, c + ε), което също е противоречие.
Следователно, f (c) = 0 и това искахме да докажем.
За какво е?
От графичната си интерпретация теоремата на Болцано се използва за намиране на корени или нули в непрекъсната функция, чрез разделяне (приближение), което е метод на инкрементално търсене, който винаги разделя интервалите на 2.
След това се взема интервал или където се случва промяна на знака и процесът се повтаря, докато интервалът е по-малък и по-малък, за да може да се приближи до желаната стойност; тоест до стойността, която функцията прави 0.
В обобщение, за да приложим теоремата на Болцано и по този начин да намерим корените, да ограничим нулите на дадена функция или да дадем решение на уравнение, се изпълняват следните стъпки:
- Проверява се дали f е непрекъсната функция на интервала.
- Ако интервалът не е даден, трябва да се намери къде функцията е непрекъсната.
- Проверява се дали крайностите на интервала дават противоположни знаци, когато се оценяват във f.
- Ако не се получат противоположни знаци, интервалът трябва да бъде разделен на два подинтервала, като се използва средната точка.
- Оценете функцията в средната точка и проверете дали хипотезата на Болцано е изпълнена, където f (a) * f (b) <0.
- В зависимост от знака (положителен или отрицателен) на намерената стойност, процесът се повтаря с нов подинтервал, докато гореспоменатата хипотеза не бъде изпълнена.
Решени упражнения
Упражнение 1
Определете дали функцията f (x) = x 2 - 2, има поне едно реално решение в интервала.
Решение
Имаме функцията f (x) = x 2 - 2. Тъй като е полином, това означава, че е непрекъсната във всеки интервал.
Помолява се да определи дали има истинско решение в интервала, така че сега е необходимо само да замените краищата на интервала във функцията, за да знаете знака на тези и да знаете дали те отговарят на условието да са различни:
f (x) = x 2 - 2
f (1) = 1 2 - 2 = -1 (отрицателно)
f (2) = 2 2 - 2 = 2 (положително)
Следователно, знакът на f (1) ≠ знак f (2).
Това гарантира, че има поне една точка "с", която принадлежи на интервала, в който f (c) = 0.
В този случай стойността на "с" може лесно да се изчисли, както следва:
x 2 - 2 = 0
x = ± √2.
Следователно √2 ≈ 1,4 принадлежи на интервала и изпълнява, че f (√2) = 0.
Упражнение 2
Покажете, че уравнението x 5 + x + 1 = 0 има поне едно реално решение.
Решение
Нека първо отбележим, че f (x) = x 5 + x + 1 е полиномална функция, което означава, че тя е непрекъсната при всички реални числа.
В този случай не се дава интервал, така че стойностите трябва да се избират интуитивно, за предпочитане близки до 0, за да се оцени функцията и да се намерят промените в знака:
Ако използвате интервала, трябва да:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
f (1) = 1 5 + 1 + 1 = 3> 0.
Тъй като няма промяна на знака, процесът се повтаря с друг интервал.
Ако използвате интервала, трябва да:
f (x) = x 5 + x + 1.
f (-1) = (-1) 5 + (-1) + 1 = -1 <0.
f (0) = 0 5 + 0 + 1 = 1> 0.
В този интервал има промяна на знака: знак на f (-1) ≠ знак на f (0), което означава, че функцията f (x) = x 5 + x + 1 има поне един реален корен «c» в интервала, така че f (c) = 0. С други думи, вярно е, че x 5 + x + 1 = 0 има реално решение в интервала.
Препратки
- Bronshtein I, SK (1988). Ръководство по математика за инженери и студенти., Редакция MIR
- Джордж, А. (1994). Математика и ум. Oxford University Press.
- Илин V, PE (1991). Математически анализ. В три тома.,
- Хесус Гумес, FG (2003). Учители по средно образование. Том II. ЛУД.
- Mateos, ML (2013). Основни свойства на анализа в R. Editores, 20 декември.
- Пискунов, Н. (1980). Диференциално и интегрално смятане.,
- Sydsaeter K, HP (2005). Математика за икономически анализ. Феликс Варела.
- Уилям Х. Баркер, щата (щат). Непрекъсната симетрия: От Евклид до Клайн. Американски математически соц.