ТЕОРЕМА НА ЧЕБИШОВ: КАКВО Е, ПРИЛОЖЕНИЯ И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

На теоремата Chebyshev (Chebyshev или неравенство) е един от най-важните класически резултатите от теорията на вероятностите. Тя позволява да се оцени вероятността на събитие, описано по отношение на случайна променлива X, като ни предостави връзка, която не зависи от разпределението на случайната променлива, а от дисперсията на X.

Теоремата е кръстена на руския математик Пафнути Чебишов (изписван също като Чебичев или Чебишев), който, въпреки че не е първият, който заяви теоремата, е първият, който даде доказателство през 1867 година.

Това неравенство или тези, които поради своите характеристики се наричат ​​неравенство на Чебишов, се използва главно за приблизителни вероятности чрез изчисляване на височини.

От какво се състои тя?

При изследването на теорията на вероятностите се получава, че ако е известна функцията на разпределение на произволна променлива X, нейната очаквана стойност - или математическото очакване E (X) - и нейната дисперсия Var (X), могат да бъдат изчислени, стига съществуват такива суми. Обратното обаче не е непременно вярно.

Тоест, знаейки E (X) и Var (X), не е задължително да се получи разпределителната функция на X, следователно количества като P (-X-> k) за някои k> 0 са много трудни за получаване. Но благодарение на неравенството на Чебишов е възможно да се оцени вероятността на случайната променлива.

Теоремата на Чебишов ни казва, че ако имаме случайна променлива X над пробно пространство S с вероятностна функция p, и ако k> 0, тогава:

Приложения и примери

Сред многото приложения на теоремата на Чебишов може да се спомене следното:

Ограничаване на вероятностите

Това е най-честото приложение и се използва за даване на горна граница за P (-XE (X) -≥k), където k> 0, само с дисперсията и очакването на случайната променлива X, без да се знае функцията на вероятността,

Пример 1

Да предположим, че броят на продуктите, произведени в една компания през една седмица, е произволна променлива със средно 50.

Ако се знае, че дисперсията от една седмица на производство е равна на 25, тогава какво можем да кажем за вероятността тази седмица производството да се различава с повече от 10 от средната?

Решение

Прилагайки неравенството на Чебишов имаме:

От това можем да получим, че вероятността в производствената седмица броят на изделията да надвишава средното с повече от 10 е най-много 1/4.

Доказателство за гранични теореми

Неравенството на Чебишов играе важна роля за доказване на най-важните гранични теореми. Като пример имаме следното:

Слаб закон на големи числа

Този закон гласи, че дадена последователност X1, X2,…, Xn,… на независими произволни променливи със същото средно разпределение E (Xi) = μ и вариация Var (X) = σ ², и известна средна извадка от:

Тогава за k> 0 имаме:

Или еквивалентно:

демонстрация

Нека първо забележим следното:

Тъй като X1, X2,…, Xn са независими, следва, че:

Следователно е възможно да се заяви следното:

След това, използвайки теоремата на Чебишов, имаме:

И накрая, теоремата произтича от факта, че границата вдясно е нула, когато n се приближава до безкрайността.

Трябва да се отбележи, че този тест е направен само за случая, в който съществува дисперсията на Xi; тоест не се разминава. Така наблюдаваме, че теоремата винаги е вярна, ако съществува E (Xi).

Чебишов гранична теорема

Ако X1, X2,…, Xn,… е поредица от независими случайни променливи, така че съществува някаква С <безкрайност, такава че Var (Xn) ≤ C за всички естествени n, тогава за всеки k> 0:

демонстрация

Тъй като последователността на вариациите е равномерно ограничена, имаме че Var (Sn) ≤ C / n, за всички естествени n. Но ние знаем, че:

Направете n тенденция към безкрайност, следните резултати:

Тъй като вероятността не може да надвишава стойността 1, се получава желаният резултат. Като следствие от тази теорема можем да споменем конкретния случай на Бернули.

Ако експериментът се повтаря n пъти независимо с два възможни резултата (неуспех и успех), където p е вероятността за успех във всеки експеримент и X е случайната променлива, която представлява броя на получените успехи, тогава за всеки k> 0 Ти трябва да:

Размер на пробата

По отношение на дисперсията, неравенството на Чебишов ни позволява да намерим размер на извадката n, който е достатъчен, за да гарантираме, че вероятността, че се получава -Sn-µ -> = k, е колкото е по-малка, колкото е желано, което ни позволява да имаме приблизително до средното.

По-специално, нека X1, X2,… Xn да е извадка от независими случайни променливи с размер n и да предположим, че E (Xi) = μ и нейната дисперсия σ ². Тогава по неравенство на Чебишов имаме:

пример

Да предположим, че X1, X2,… Xn са извадка от независими случайни променливи с разпределение на Бернули, така че да приемат стойността 1 с вероятност p = 0.5.

Какъв трябва да е размерът на извадката, за да може да се гарантира, че вероятността разликата между средното аритметично Sn и очакваната му стойност (надвишаваща повече от 0,1) е по-малка или равна на 0,01?

Решение

Имаме, че E (X) = μ = p = 0.5 и че Var (X) = σ ² = p (1-p) = 0.25. По неравенство на Чебишов за всеки k> 0 имаме:

Сега, вземайки k = 0.1 и δ = 0.01, имаме:

По този начин се заключава, че е необходим размер на извадката от поне 2500, за да се гарантира, че вероятността от събитието -Sn - 0,5 -> = 0,1 е по-малка от 0,01.

Неравенства от типа Чебишов

Има няколко неравенства, свързани с неравенството на Чебишов. Едно от най-известните е неравенството на Марков:

В този израз X е неотрицателна случайна променлива с k, r> 0.

Марковското неравенство може да приеме различни форми. Например, нека Y е неотрицателна случайна променлива (затова P (Y> = 0) = 1) и да предположим, че E (Y) = μ съществува. Да предположим също, че (E (Y)) ^r = μ _r съществува за някакво цяло число r> 1. Така:

Друго неравенство е Гаус, което ни казва, че дадена унимодална случайна променлива X с режим на нула, тогава за k> 0,

Препратки

1. Кай Лай Чунг. Елементарна теория за вероятността със стохастични процеси. Springer-Verlag New York Inc
2. Kenneth.H. Росен. Дискретна математика и нейните приложения. SAMCGRAW-HILL / INTERAMERICANA DE ESPAÑA.
3. Пол Л. Майер. Вероятност и статистически приложения. SA ALHAMBRA MEXICANA.
4. Д-р Seymour Lipschutz 2000 решени задачи от дискретна математика. McGraw-Hill.
5. Д-р Seymour Lipschutz Проблеми с теорията и вероятностите. McGraw-Hill.