- Формули и демонстрация
- Теорема за височината
- демонстрация
- Теорема за краката
- демонстрация
- Връзка между теоремите на Евклид
- Решени упражнения
- Пример 1
- Решение
- Пример 2
- Решение
- Препратки
В теорема на Евклид показва свойствата на триъгълника начертаете линия, която разделя го на две нови триъгълници, които са подобни и, от своя страна, са подобни на оригиналния триъгълник; тогава съществува съотношение на пропорционалност.
Евклид беше един от най-великите математици и геометри на древната епоха, който извърши няколко доказателства за важни теореми. Една от основните е тази, която носи неговото име, която има широко приложение.
Това е така, защото чрез тази теорема тя обяснява по прост начин геометричните отношения, съществуващи в десния триъгълник, където краката на триъгълника са свързани с техните проекции върху хипотенузата.
Формули и демонстрация
Теоремата на Евклид предлага, че във всеки десен триъгълник, когато е начертана линия - която представлява височината, която съответства на върха на правия ъгъл по отношение на хипотенузата - от десния триъгълник се образуват два десни триъгълника.
Тези триъгълници ще бъдат сходни един с друг и също ще бъдат подобни на оригиналния триъгълник, което означава, че техните подобни страни са пропорционални една на друга:
Ъглите на трите триъгълника са конгруентни; тоест, когато са завъртени на 180 градуса около върха си, единият ъгъл съвпада с другия. Това означава, че всички те ще бъдат еднакви.
По този начин сходството, което съществува между трите триъгълника, може да бъде проверено и от равенството на техните ъгли. От сходството на триъгълници Евклид установява пропорциите на тези от две теореми:
- Теорема за височината.
- Теорема за краката.
Тази теорема има широко приложение. В древни времена той се е използвал за изчисляване на височини или разстояния, представляващи голям аванс за тригонометрията.
В момента се прилага в различни области, които се базират на математика, като инженерство, физика, химия и астрономия, сред много други области.
Теорема за височината
В тази теорема се установява, че във всеки десен триъгълник височината, изтеглена от правия ъгъл по отношение на хипотенузата, е геометричната пропорционална средна стойност (квадрата на височината) между проекциите на краката, която тя определя върху хипотенузата.
Тоест квадратът на височината ще бъде равен на умножението на проектираните крака, които образуват хипотенузата:
h c 2 = m * n
демонстрация
Като се има предвид триъгълник ABC, който е точно в върха C, начертаването на височината генерира два подобни десни триъгълника, ADC и BCD; следователно техните съответни страни са пропорционални:
По такъв начин, че височината h c, която съответства на сегмента CD, съответства на хипотенузата AB = c, така че имаме:
От своя страна това съответства на:
Решавайки хипотенузата (h c), за да умножим двата члена на равенството, имаме:
h c * h c = m * n
h c 2 = m * n
По този начин стойността на хипотенузата се дава от:
Теорема за краката
В тази теорема се установява, че във всеки десен триъгълник мярката на всеки крак ще бъде средно геометричното пропорционално (квадратурата на всеки крак) между мярката на хипотенузата (пълна) и проекцията на всеки един от нея:
b 2 = c * m
a 2 = c * n
демонстрация
Като се има предвид триъгълник ABC, който е точно в върха C, по такъв начин, че неговата хипотенуза е c, при начертаване на височината (h) се определят проекциите на краката a и b, които са съответно сегментите m и n и които лежат на хипотенузата.
По този начин, височината, начертана на десния триъгълник ABC, генерира два подобни десни триъгълника, ADC и BCD, така че съответните страни са пропорционални, като тази:
DB = n, което е проекцията на крака CB върху хипотенузата.
AD = m, което е проекцията на AC крака върху хипотенузата.
Тогава хипотенузата c се определя от сумата на краката на нейните проекции:
c = m + n
Поради приликата на триъгълниците ADC и BCD, имаме:
Горното е същото като:
Решавайки за крак "а", за да умножим двата члена на равенството, имаме:
a * a = c * n
a 2 = c * n
По този начин стойността на крака "a" се дава от:
По същия начин, поради сходството на триъгълниците ACB и ADC, имаме:
Горното е равно на:
Решавайки за крак "b", за да умножим двата члена на равенството, имаме:
b * b = c * m
b 2 = c * m
По този начин стойността на крака "b" се дава от:
Връзка между теоремите на Евклид
Теоремите във връзка с височината и краката са свързани помежду си, тъй като мярката и на двете се прави по отношение на хипотенузата на десния триъгълник.
Чрез отношението на теоремите на Евклид може да се намери и стойността на височината; това е възможно чрез решаване на стойностите на m и n от теоремата за краката и те се заменят в теоремата за височината. По този начин се постига, че височината е равна на умножението на краката, разделено на хипотенузата:
b 2 = c * m
m = b 2 ÷ c
a 2 = c * n
n = a 2 ÷ c
В теоремата за височината заместваме m и n:
h c 2 = m * n
h c 2 = (b 2 ÷ c) * (a 2 ÷ c)
h c = (b 2 * a 2) ÷ c
Решени упражнения
Пример 1
Като се има предвид триъгълникът ABC, точно в A, определете мярката на AC и AD, ако AB = 30 cm и BD = 18 cm
Решение
В този случай имаме измерванията на един от проектираните крака (BD) и на един от краката на първоначалния триъгълник (AB). По този начин теоремата за крака може да се приложи, за да се намери стойността на крака BC.
AB 2 = BD * BC
(30) 2 = 18 * пр. Н. Е
900 = 18 * пр. Н. Е
BC = 900 ÷ 18
BC = 50 cm
Стойността на CD на краката може да се намери, знаейки, че BC = 50:
CD = BC - BD
CD = 50 - 18 = 32 cm
Сега е възможно да се определи стойността на крака AC, като се приложи отново теоремата за крака:
AC 2 = CD * BD
AC 2 = 32 * 50
AC 2 = 160
AC = √1600 = 40 cm
За да се определи стойността на височината (AD), се прилага теоремата за височината, тъй като стойностите на проектираните крака CD и BD са известни:
AD 2 = 32 * 18
AD 2 = 576
AD = √576
AD = 24 cm
Пример 2
Определете стойността на височината (h) на триъгълник MNL, точно в N, като знаете мерките на сегментите:
NL = 10 cm
MN = 5 cm
PM = 2 cm
Решение
Имаме мярката на един от краката, проектирана върху хипотенузата (ПМ), както и мерките на краката на оригиналния триъгълник. По този начин теоремата за крака може да се приложи, за да се намери стойността на другия проектиран крак (LN):
NL 2 = PM * LM
(10) 2 = 5 * LM
100 = 5 * LM
PL = 100 ÷ 5 = 20
Тъй като стойността на краката и хипотенузата вече е известна, чрез връзката на теоремите за височината и краката стойността на височината може да бъде определена:
NL = 10
MN = 5
LM = 20
h = (b 2 * a 2) ÷ c.
h = (10 2 * 5 2) ÷ (20)
h = (100 * 25) ÷ (20)
h = 2500 ÷ 20
h = 125 cm.
Препратки
- Браун, Е. (2011). Хаос, фрактали и странни неща. Фонд за икономическа култура.
- Cabrera, VM (1974). Съвременна математика, том 3.
- Даниел Ернандес, DP (2014). Математика на 3-та година Каракас: Сантилана.
- Енциклопедия Британика, т.е. (деветнадесет деветдесет и пет). Испанска енциклопедия: Макропедия. Издателство енциклопедия Британика.
- Евклид, RP (1886). Елементи на геометрията на Евклид.
- Guardeño, AJ (2000). Наследството от математиката: от Евклид до Нютон, гениите чрез своите книги. Университет в Севиля.