The Green е теорема е изчислителен метод, използван за свързване на линия интеграли двойни интеграли или площ. Включените функции трябва да бъдат обозначени като векторни полета и дефинирани в пътя C.
Например интегралният израз на линия може да бъде много труден за разрешаване; обаче, прилагайки теоремата на Грийн, двойните интеграли стават доста основни. Винаги е важно да се спазва положителната посока на траекторията, това се отнася до посоката против часовниковата стрелка.
Теоремата на Грийн е особен случай на теоремата на Стокс, където проекцията на векторната функция се осъществява в равнината xy.
дефиниция
Изразът на теоремата на Грийн е следният:
Първият термин показва линията интеграл, дефинирана от пътя "С", на скаларния продукт между векторната функция "F" и тази на вектора "r".
В: Това е дефинираният път, по който ще се проектира векторната функция, стига да е определена за тази равнина.
F: Векторна функция, при която всеки от нейните компоненти се определя от функция като такава (f, g).
r: Това е векторна допирателна към областта R, над която е дефиниран интегралът. В този случай работим с диференциал на този вектор.
Във втория термин виждаме разработената теорема на Грийн, където се наблюдава двойният интеграл, дефиниран в областта R на разликата на частичните производни на g и f, по отношение съответно на x и y. Чрез диференциал на площта, който не е нищо повече от произведението на двете двумерни диференциали (dx.dy).
Тази теорема е напълно приложима за пространствени и повърхностни интеграли.
демонстрация
За да докажем теоремата на Грийн по прост начин, тази задача ще бъде разбита на 2 части. На първо място, ще приемем, че векторната функция F има само дефиниция във версия i. Докато функцията "g", съответстваща на конвертора j, ще бъде равна на нула.
автор
F = f (x, y) i + g (x, y) j = f (x, y) i + 0
r = x i + y j
dr = dx i + dy j
Първо разработваме линията, интегрална над път C, за която пътят е разделен на 2 секции, които отиват първо от a до b и след това от b до a.
Определението на основната теорема за смятане се прилага за определен интеграл.
Изразът се пренарежда в един интеграл, отрицателният се прави общ фактор и редът на факторите се обръща.
Когато наблюдаваме подробно този израз, става очевидно, че при прилагането на критериите за примитивна функция ние сме в присъствието на интеграла на израза, получен от f по отношение на y. Оценява се по параметри
Сега е достатъчно да предположим, че векторната функция F е дефинирана само за g (x, y) j. Когато се работи по начин, подобен на предишния случай, се получава следното:
За да завършим, двете доказателства се вземат и съединяват в случай, когато векторната функция приема стойности и за двата версора. По този начин е показано как линията интеграл, след като бъде дефинирана и считана за едномерна траектория, може да бъде напълно разработена за равнината и пространството.
F = f (x, y) i + g (x, y) j
По този начин се доказва теоремата на Грийн.
Приложения
Приложенията на теоремата на Грийн са широко в отраслите на физиката и математиката. Те се простират до всяко приложение или употреба, които могат да бъдат предоставени за интеграция на линии.
Механичната работа, извършена от сила F през път C, може да бъде развита от линеен интеграл, който се изразява като двоен интеграл на площ от теоремата на Грийн.
Инерционните моменти на много тела, подложени на външни сили в различни точки на приложение, също отговарят на линейни интеграли, които могат да бъдат разработени с теоремата на Грийн.
Това има множество функции в проучванията за устойчивост на използваните материали. Когато външните стойности могат да бъдат количествено определени и взети под внимание преди разработването на различни елементи.
Като цяло теоремата на Грийн улеснява разбирането и дефинирането на областите, в които векторните функции са дефинирани по отношение на регион по пътя.
история
Той е публикуван през 1828 г. в труда "Математически анализ към теориите за електричеството и магнетизма", написан от британския математик Джордж Грийн. В него се изследват доста решаващи раздели в приложението на смятането във физиката, като концепцията за потенциалните функции, функциите на Грийн и приложенията на неговата самоназвана теорема.
Джордж Грийн официализира студентската си кариера на 40-годишна възраст, като до този момент е напълно самоук математик. След като учи в Университета в Кеймбридж, той продължава изследванията си, като прави принос в акустиката, оптиката и хидродинамиката, които са валидни и до днес.
Връзка с други теореми
Теоремата на Грийн е специален случай и тя произтича от 2 други много важни теореми в областта на смятането. Това са теоремата на Келвин-Стоукс и дивергенцията или теоремата на Гаус Остроградски.
Изхождайки от всяка от двете теореми, може да се стигне до теоремата на Грийн. За разработването на такива доказателства са необходими определени определения и предложения.
Упражнения
- Следващото упражнение показва как да преобразуваме линия интеграл в двоен интеграл по отношение на регион R.
Оригиналният израз е следният:
Откъде са взети съответните функции af и g
f (x, y) = x 3 g (x, y) = yx
df / dy = 0 dg / dx = y
Няма единствен начин да се определят границите на интеграция при прилагане на теоремата на Грийн. Но има начини, по които интегралите след като бъдат дефинирани, могат да бъдат по-прости. Така че оптимизирането на границите на интеграцията заслужава внимание.
Къде при решаването на интегралите получаваме:
Тази стойност съответства в кубични единици на областта под векторната функция и над триъгълната област, дефинирана от С.
В случая на интеграла на реда, без да се изпълнява методът на Грийн, би било необходимо да се параметризират функциите във всяка секция на региона. Тоест изпълнете 3 параметризирани интеграла за разделителната способност. Това е достатъчно доказателство за ефективността, която Робърт Грийн донесе със своята теорема за смятане.
Препратки
- Въведение в механиката на непрекъснатостта. W Michael Lai, David H. Rubin, Erhard Krempl, David Rubin Butterworth-Heinemann, 23 юли. 2009
- Многомерно смятане. Джеймс Стюарт. Cengage Learning, 22 март 2011
- Неформална история на теоремата на Грийн и асоциираните идеи. Джеймс Джоузеф Крос. Катедра по математика, Университет в Мелбърн, 1975 г.
- Топлопроводност с помощта на функции на зелено. Кевин Д. Коул, Джеймс В. Бек, А. Хаджи-шейх, Бахман Литкоухи. Тейлър и Франсис, 16 юли 2010
- Приложение на теоремата на Грийн за екстремизиране на линейни интеграли. Технически информационен център за отбрана, 1961 г.