На теоремата Лами посочва, че когато твърдо тяло е в равновесие и действието на три копланарни сили (сили в една и съща равнина), линиите на действие, отговарящи на една и съща точка.
Теоремата е изведена от френския физик и религиозен Бернар Лами и произлиза от закона на синусите. Той се използва широко за намиране на стойността на ъгъл, на линията на действие на сила или за формиране на триъгълника на силите.
Теорема на Лами
Теоремата гласи, че за да бъде изпълнено условието за равновесие, силите трябва да са копланарни; т.е. сумата на силите, упражнявани върху точка, е нула.
Освен това, както се вижда от следващото изображение, е вярно, че удължавайки линиите на действие на тези три сили, те се сближават в една и съща точка.
По този начин, ако три сили, които са в една и съща равнина и са едновременни, величината на всяка сила ще бъде пропорционална на синуса на противоположния ъгъл, които се образуват от другите две сили.
Така имаме, че Т1, започващ от синуса на α, е равен на съотношението на T2 / β, което от своя страна е равно на съотношението на T3 / Ɵ, тоест:
Оттам следва, че модулите на тези три сили трябва да са равни, ако ъглите, които всяка двойка сили образува между тях, са равни на 120º.
Има възможност един от ъглите да е тъп (измерете между 90 0 и 180 0). В този случай синусът на този ъгъл ще бъде равен на синуса на допълнителния ъгъл (в неговата двойка той измерва 180 0).
Упражнението е разрешено
Има система, съставена от два блока J и K, които висят от различни струни под ъгъл към хоризонтала, както е показано на фигурата. Системата е в равновесие, а блок J тежи 240 N. Определете теглото на блок K.
Решение
По принципа на действие и реакция, напреженията, упражнявани в блокове 1 и 2, ще бъдат равни на теглото им.
Сега за всеки блок се изгражда диаграма на свободното тяло, за да се определят ъглите, които образуват системата.
Известно е, че акордът, който отива от А до В, има ъгъл 30 0, така че ъгълът, който го допълва, е равен на 60 0. По този начин стигате до 90 0.
От друга страна, където се намира точка А, има ъгъл 60 0 спрямо хоризонталата; ъгълът между вертикалата и T A ще бъде = 180 0 - 60 0 - 90 0 = 30 0.
Така получаваме, че ъгълът между AB и BC = (30 0 + 90 0 + 30 0) и (60 0 + 90 0 + 60) = 150 0 и 210 0. Когато се добави, общият ъгъл е 360 0.
Прилагайки теоремата на Лами имаме:
T BC / sin 150 0 = P A / sin 150 0
T BC = P A
T BC = 240N.
В точка С, където е блокът, ъгълът между хоризонталата и хордата BC е 30 0, така че допълващият ъгъл е равен на 60 0.
От друга страна, има ъгъл 60 0 в точка CD; ъгълът между вертикалата и T C ще бъде = 180 0 - 90 0 - 60 0 = 30 0.
Така получаваме, че ъгълът в блока K е = (30 0 + 60 0)
Прилагане на теоремата на Лами в точка C:
T BC / sin 150 0 = B / sin 90 0
Q = T BC * sin 90 0 / sin 150 0
Q = 240 N * 1 / 0,5
Q = 480 N.
Препратки
- Андерсен, К. (2008). Геометрията на едно изкуство: Историята на математическата теория на перспективата от Алберти до Монж. Springer Science & Business Media.
- Фердинанд П. Бира, ER (2013). Механика за инженери, статистика. McGraw-Hill Interamericana.
- Francisco Español, JC (2015). Решени задачи на линейна алгебра. Ediciones Paraninfo, SA
- Graham, J. (2005). Сила и движение. Хауфтън Мифлин Харкорт.
- Harpe, P. d. (2000 г.). Теми в геометричната теория на групата. University of Chicago Press.
- P. A Tipler и, GM (2005). Физика за наука и технологии. Том I. Барселона: Reverté SA