ТЕОРЕМА НА MOIVRE: УПРАЖНЕНИЯ ЗА ДОКАЗВАНЕ И РЕШАВАНЕ - МАТЕМАТИКА - 2025

На теоремата на Moivre прилага алгебра основните процеси, като сили и екстрахиране корени в комплексни числа. Теоремата е заявена от известния френски математик Абрахам де Моивре (1730 г.), който свързва сложни числа с тригонометрията.

Авраам Moivre направи тази асоциация чрез изразите на синуса и косинуса. Този математик генерира своеобразна формула, чрез която е възможно да се издигне сложно число z до мощността n, което е положително цяло число, по-голямо или равно на 1.

Каква е теоремата на Moivre?

Теоремата на Moivre заявява следното:

Ако имаме сложно число в полярната форма z = r _Ɵ, където r е модулът на комплексното число z, а ъгълът Ɵ се нарича амплитуда или аргумент на всяко комплексно число с 0 ≤ Ɵ ≤ 2π, за да се изчисли нейният n– сила, няма да е необходимо да го умножаваме n-пъти; тоест не е необходимо да се прави следният продукт:

Z ⁿ = z _* z _* z _{*.,. *} z = r _{Ɵ *} r _{Ɵ *} r _{Ɵ *.,. *} r _Ɵ n-пъти.

Напротив, теоремата казва, че когато пишем z в неговата тригонометрична форма, за да изчислим n-тата сила, ние процедираме, както следва:

Ако z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), тогава z ⁿ = r ⁿ (cos n * Ɵ + i _* sin n * Ɵ).

Например, ако n = 2, тогава z ² = r ². Ако n = 3, тогава z ³ = z ² _* z. Също:

z ³ = r ² _* r = r ³.

По този начин могат да се получат тригонометричните съотношения на синус и косинус за кратни ъгъл, стига тригонометричните съотношения на ъгъла да са известни.

По същия начин може да се използва за намиране на по-прецизни и по-малко объркващи изрази за n-ти корен на сложно число z, така че z ⁿ = 1.

За доказване на теоремата на Moivre се използва принципът на математическата индукция: ако цяло число "a" има свойство "P" и ако за всяко цяло число "n" е по-голямо от "a", което има свойството "P" Той отговаря, че n + 1 също има свойството "P", тогава всички цели по-големи или равни на "a" имат свойството "P".

демонстрация

По този начин, доказването на теоремата се извършва със следните стъпки:

Индуктивна основа

Първо се проверява за n = 1.

Тъй като z ¹ = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ¹ = r ¹ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ¹ = r ¹, теоремата важи за n = 1.

Индуктивна хипотеза

Формулата се приема за вярна за някакво положително цяло число, тоест n = k.

z ^k = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^k = r ^k (cos k Ɵ + i _* sin k Ɵ).

проверка

Доказано е, че е вярно за n = k + 1.

Тъй като z ^{k + 1} = z ^k _* z, тогава z ^{k + 1} = (r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ)) ^{k + 1} = r ^k (cos kƟ + i _* sin kƟ) _* r (cos Ɵ + i _* senƟ).

Тогава изразите се умножават:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} ((cos kƟ) _* (cosƟ) + (cos kƟ) _* (i _* sinƟ) + (i _* sin kƟ) _* (cosƟ) + (i _* sin kƟ) _* (i _* senƟ)).

За момент фактор r ^{k + 1} се игнорира и се приема общият фактор i:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) + i ² (sin kƟ) _* (sinƟ).

Тъй като i ² = -1, ние го заместваме в израза и получаваме:

(cos kƟ) _* (cosƟ) + i (cos kƟ) _* (sinƟ) + i (sin kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ).

Сега истинската част и въображаемата част са подредени:

(cos kƟ) _* (cosƟ) - (sin kƟ) _* (sinƟ) + i.

За да се опрости изразът, тригонометричните идентичности на сумата от ъгли се прилагат за косинуса и синуса, които са:

cos (A + B) = cos A _* cos B - sin A _* sin B.

sin (A + B) = sin A _* cos B - cos A _* cos B.

В този случай променливите са ъглите Ɵ и kƟ. Прилагайки тригонометричните идентичности, имаме:

cos kƟ _* cosƟ - sin kƟ _* sinƟ = cos (kƟ + Ɵ)

sin kƟ _* cosƟ + cos kƟ _* sinƟ = грях (kƟ + Ɵ)

По този начин изразът е:

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos (kƟ + Ɵ) + i _* sin (kƟ + Ɵ))

z ^{k + 1} = r ^{k + 1} (cos + i _* sin).

По този начин може да се покаже, че резултатът е вярно за n = k + 1. По принципа на математическата индукция се заключава, че резултатът е валиден за всички положителни числа; тоест n ≥ 1.

Отрицателно цяло число

Теоремата на Moivre се прилага и когато n ≤ 0. Нека разгледаме отрицателно цяло число «n»; тогава "n" може да се запише като "-m", тоест n = -m, където "m" е положително цяло число. По този начин:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^-m

За да се получи показателят «m» по положителен начин, изразът се записва обратно:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ^m

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = 1 ÷ (cos mƟ + i _* sin mƟ)

Сега се използва, че ако z = a + b * i е сложно число, тогава 1 ÷ z = ab * i. По този начин:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (mƟ) - i _* sin (mƟ).

Използвайки това cos (x) = cos (-x) и това -sen (x) = sin (-x), имаме:

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ =

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (- mƟ) + i _* sin (-mƟ)

(cos Ɵ + i _* sin Ɵ) ⁿ = cos (nƟ) - i _* sin (nƟ).

По този начин може да се каже, че теоремата се прилага за всички цели стойности на "n".

Решени упражнения

Изчисляване на положителни сили

Една от операциите със сложни числа в полярната им форма е умножението по две от тях; в този случай модулите се умножават и се добавят аргументите.

Ако имате две сложни числа z _{1 и} z ₂ и искате да изчислите (z ₁ * z ₂) ², тогава продължете както следва:

z ₁ z ₂ = *

Разпределителното свойство се прилага:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂ (cos Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i _* cos Ɵ _{1 *} i _* sin Ɵ ₂ + i _* sin Ɵ _{1 *} cos Ɵ ₂ + i ² _* sin Ɵ _{1 *} sin Ɵ ₂).

Те са групирани, като термина "i" приема като общ фактор на изразите:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Тъй като i ² = -1, той се замества в израза:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Реалните термини са прегрупирани с реални, а въображаеми с въображаеми:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂

Накрая важат тригонометричните свойства:

z ₁ z ₂ = r ₁ r ₂.

В заключение:

(z ₁ * z ₂) ² = (r ₁ r ₂) ²

= r ₁ ² r ₂ ².

Упражнение 1

Напишете сложното число в полярна форма, ако z = - 2 -2i. След това, използвайки теоремата на Moivre, изчислете z ⁴.

Решение

Комплексното число z = -2 -2i се изразява в правоъгълната форма z = a + bi, където:

a = -2.

b = -2.

Знаейки, че полярната форма е z = r (cos Ɵ + i _* sin Ɵ), трябва да определим стойността на модула "r" и стойността на аргумента "Ɵ". Тъй като r = √ (a² + b²), дадените стойности са заместени:

r = √ (a² + b²) = √ ((- 2) ² + (- 2) ²)

= √ (4 + 4)

= √ (8)

= √ (4 * 2)

= 2√2.

След това, за да се определи стойността на «Ɵ», се прилага правоъгълната форма на това, което се дава по формулата:

тен Ɵ = b ÷ a

тен Ɵ = (-2) ÷ (-2) = 1.

Тъй като тен (Ɵ) = 1 и имаме <0, тогава имаме:

Ɵ = арктан (1) + Π.

= Π / 4 + Π

= 5Π / 4.

Тъй като стойностите на «r» и «Ɵ» вече са получени, комплексното число z = -2 -2i може да бъде изразено в полярна форма чрез заместване на стойностите:

z = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)).

Сега използваме теоремата на Moivre за изчисляване на z ⁴:

z ⁴ = 2√2 (cos (5Π / 4) + i _* sin (5Π / 4)) ⁴

= 32 (cos (5Π) + i _* sin (5Π)).

Упражнение 2

Намерете произведението на сложните числа, като го изразите в полярна форма:

z1 = 4 (cos 50 ^o + i _* sin 50 ^o)

z2 = 7 (cos 100 ^o + i _* sin 100 ^o).

След това изчислете (z1 * z2) ².

Решение

Първо се формира произведението на дадените числа:

z ₁ z ₂ = *

Тогава модулите се умножават помежду си и се добавят аргументите:

z ₁ z ₂ = (4 _* 7) _*

Изразът е опростен:

z ₁ z ₂ = 28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o).

И накрая, теоремата на Moivre се прилага:

(z1 * z2) ² = (28 _* (cos 150 ^o + (i _* sin 150 ^o)) ² = 784 (cos 300 ^o + (i _* sin 300 ^o)).

Изчисляване на отрицателни сили

За да се разделят две сложни числа z _{1 и} z ₂ в тяхната полярна форма, модулът се разделя и аргументите се изваждат. По този начин, коефициентът е z ₁ ÷ z ₂ и се изразява, както следва:

z ₁ ÷ z ₂ = r1 / r2 ().

Както в предишния случай, ако искаме да изчислим (z1 ÷ z2) ³, първо се извършва делението и след това се използва теоремата на Моивре.

Упражнение 3

кубчета:

z1 = 12 (cos (3π / 4) + i * sin (3π / 4)), z2 = 4 (cos (π / 4) + i * sin (π / 4)), изчисли (z1 ÷ z2) ³.

Решение

След описаните по-горе стъпки може да се заключи, че:

(z1 ÷ z2) ³ = ((12/4) (cos (3π / 4 - π / 4) + i * sin (3π / 4 - π / 4))) ³

= (3 (cos (π / 2) + i * sin (π / 2))) ³

= 27 (cos (3π / 2) + i * sin (3π / 2)).

Препратки

1. Артур Гудман, LH (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
2. Краучер, М. (втори). От теоремата на Moivre за триъгълни идентичности. Проект за демонстрации на Волфрам.
3. Hazewinkel, M. (2001). Енциклопедия по математика.
4. Max Peters, WL (1972). Алгебра и тригонометрия.
5. Перес, CD (2010). Pearson Education.
6. Stanley, G. (nd). Линейна алгебра. Graw-Hill.
7. , М. (1997). Precalculation. Pearson Education.