ТЕОРЕМА ЗА ПРИКАЗКИТЕ НА МИЛЕТ: ПЪРВО, ВТОРО И ПРИМЕРИ - МАТЕМАТИКА - 2025

Първата и втората теореми на Талес на Милет се основават на определяне на триъгълници от подобни (първа теорема) или от кръгове (втора теорема). Те са били много полезни в различни области. Например първата теорема беше много полезна за измерване на големи структури, когато нямаше сложни измервателни уреди.

Талес на Милет е гръцки математик, който е дал голям принос за геометрията, от които тези две теореми се открояват (в някои текстове той също е написан като Талес) и техните полезни приложения. Тези резултати се използват в цялата история и дават възможност за решаване на голямо разнообразие от геометрични задачи.

Талес на Милет

Първа теорема на Талес

Първата теорема на Талес е много полезен инструмент, който, наред с други неща, позволява изграждането на триъгълник, подобен на друг, известен досега. От тук са изведени различни версии на теоремата, които могат да бъдат приложени в множество контексти.

Преди да дадем своето изявление, нека си припомним някои понятия за сходство на триъгълници. По същество два триъгълника са сходни, ако ъглите им са конгруентни (имат една и съща мярка). Това води до факта, че ако два триъгълника са сходни, съответните им (или хомоложни) страни са пропорционални.

Първата теорема на Талес гласи, че ако една линия се направи успоредна на която и да е от страните ѝ в даден триъгълник, полученият нов триъгълник ще бъде подобен на началния триъгълник.

Получава се също връзка между формираните ъгли, както е показано на следващата фигура.

Приложение

Сред многобройните му приложения се откроява един особен интерес и е свързан с един от начините, по които са направени измервания на големи структури в древността, време, в което е живял Талес и в което не е имало съвременни измервателни уреди, които те съществуват сега.

Говори се, че по този начин Талес успял да измери най-високата пирамида в Египет, Хеопс. За това Талес предполагаше, че отраженията на слънчевите лъчи докосват земята, образувайки успоредни линии. При това предположение той заби вертикално пръст или пръчка в земята.

След това той използва сходството на двата получени триъгълника, единият, образуван от дължината на сянката на пирамидата (която може лесно да се изчисли) и височината на пирамидата (неизвестното), а другият, образуван от дължините на сянката и височината на пръта (което също може лесно да се изчисли).

Използвайки пропорционалността между тези дължини, височината на пирамидата може да бъде решена и известна.

Въпреки че този метод на измерване може да даде значителна грешка на приближение по отношение на точността на височината и зависи от паралелизма на слънчевите лъчи (което от своя страна зависи от точното време), трябва да се признае, че това е много гениална идея и че предоставя добра алтернатива за измерване за времето.

Примери

Намерете стойността на x за всеки случай:

Втората теорема на Талес

Втората теорема на Талес определя десен триъгълник, вписан в кръг във всяка една и съща точка.

Триъгълник, вписан в обиколка, е триъгълник, чиито върхове са по обиколката, като по този начин остават в него.

По-конкретно, втората теорема на Талес гласи следното: като се има окръжност с център O и диаметър AC, всяка точка B по обиколката (различна от A и C) определя десен триъгълник ABC, с прав ъгъл

Като обосновка нека отбележим, че и OA, и OB, и OC съответстват на радиуса на обиколката; следователно техните измервания са еднакви. От това следва, че триъгълниците OAB и OCB са равнобедрени, където

Известно е, че сумата от ъглите на триъгълник е равна на 180º. Използвайки това с триъгълник ABC имаме:

2b + 2a = 180º.

Еквивалентно имаме, че b + a = 90º и b + a =

Обърнете внимание, че десният триъгълник, предоставен от втората теорема на Талес, е точно този, чиято хипотенуза е равна на диаметъра на обиколката. Следователно той се определя напълно от полукръга, който съдържа точките на триъгълника; в този случай горният полукръг.

Нека отбележим също, че в десния триъгълник, получен чрез втората теорема на Талес, хипотенузата е разделена на две равни части чрез OA и OC (радиуса). На свой ред тази мярка е равна на сегмента OB (също радиуса), който съответства на средната стойност на триъгълника ABC от B.

С други думи, дължината на медианата на десния триъгълник ABC, съответстваща на върха B, се определя напълно от половината от хипотенузата. Спомнете си, че средната на триъгълник е отсечката от един от върховете до средната точка на противоположната страна; в този случай сегментът BO.

Обрязан обхват

Друг начин за разглеждане на втората теорема на Талес е чрез обиколка, описана в десен триъгълник.

По принцип обиколка, описана на многоъгълник, се състои от обиколката, която минава през всеки от нейните върхове, винаги когато е възможно да се очертае.

Използвайки втората теорема на Талес, като имаме правилен триъгълник, винаги можем да изградим обиколка, описана в него, с радиус, равен на половината от хипотенузата и кръгъл център (центърът на обиколката), равен на средната точка на хипотенузата.

Приложение

Много важно приложение на втората теорема на Талес и може би най-широко използваната е да се намерят допирателните линии към даден кръг, през точка P, външна за него (известна).

Обърнете внимание, че като се има предвид окръжност (нарисувана в синьо на фигурата по-долу) и външна точка P, има две линии, допирателни към окръжността, които преминават през P. Нека T и T 'са точките на допирателност, r радиусът на окръжността и Или центъра.

Известно е, че сегментът, който отива от центъра на окръжност до една точка на една и съща, е перпендикулярен на тази допираща линия. Значи ъгълът OTP е прав.

От видяното по-рано в първата теорема на Талес и различните му версии виждаме, че е възможно да се впише OTP триъгълник в друг кръг (в червено).

По същия начин се получава, че триъгълникът OT'P може да бъде вписан в същата предишна обиколка.

От втората теорема на Талес получаваме също, че диаметърът на тази нова обиколка е именно хипотенузата на триъгълника OTP (която е равна на хипотенузата на триъгълника OT'P), а центърът е средната точка на тази хипотенуза.

За да се изчисли центъра на новата обиколка, е достатъчно да се изчисли средната точка между центъра - да кажем M - на първоначалната обиколка (която вече знаем) и точката P (която също знаем). Тогава радиусът ще бъде разстоянието между тази точка M и P.

С радиуса и центъра на червения кръг можем да намерим декартовото му уравнение, което помним, че е дадено от (xh) ² + (yk) ² = c ², където c е радиусът и точката (h, k) е центъра на обиколката.

Знаейки сега уравненията на двата кръга, можем да ги пресичаме, като решаваме системата от уравнения, образувана от тях, и по този начин получаваме точките на допирания T и T '. И накрая, за да знаем желаните допирателни линии, е достатъчно да намерим уравнението на линиите, преминаващи през Т и Р, и през Т 'и Р.

пример

Помислете за обиколка с диаметър AC, център O и радиус 1 cm. Нека B е точка на обиколката, така че AB = AC. Колко висок е AB?

Решение

По втората теорема на Талес имаме, че триъгълникът ABC е правилен и хипотенузата съответства на диаметъра, който в този случай е 2 cm (радиусът е 1 cm). Тогава, по теорията на Питагор, имаме:

Препратки

1. Ана Лира, PJ (2006). Геометрия и тригонометрия. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
2. Goodman, A., Hirsch, L. (1996). Алгебра и тригонометрия с аналитична геометрия. Pearson Education.
3. Gutiérrez, Á. ДА СЕ. (2004 г.). Методика и приложения на математиката в Министерството на образованието на ЕСО.
4. Iger. (2014). Математика втори семестър Zaculeu. Гватемала: IGER.
5. Хосе Хименес, LJ (2006). Математика 2. Zapopan, Jalisco: Ediciones Umbral.
6. М., С. (1997). Тригонометрия и аналитична геометрия. Pearson Education.
7. Перес, МА (2009). История на математиката: предизвикателства и завоевания чрез нейните характери. Редакционно Vision Libros.
8. Viloria, N., & Leal, J. (2005). Плоска аналитична геометрия. Редакция Венезолана Калифорния